Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное числоbi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример 1. Найти x и y из равенства:

а) 3y + 5xi = 15 – 7i;
б) (2x + 3y) + (x – y)i = 7 + 6i.

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда

б) Из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 2. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i. Найти:

а) z₁ + z₂; б) z₁ – z₂; в) z₁z₂.

Решение.

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i² = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i² = – 1).

Пример 3. Выполнить деление:

Решение.

а) Имеем

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Пример 4. Решите уравнение:

x² – 6x + 13 = 0

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

D = b² – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

Текст задания

1–7. Вычислите:

1. i⁶⁶; i¹⁴³; i²¹⁶; i¹³⁷.
2. i⁴³ + i⁴⁸ + i⁴⁴ + i⁴⁵.
3. (i³⁶ + i¹⁷)i²³.
4. (i¹³³ + i¹¹⁵ + i²⁰⁰ + i¹⁴²)(i¹⁷ + i³⁶).
5. i¹⁴⁵ + i¹⁴⁷ + i²⁶⁴ + i³⁴⁵ + i¹¹⁷.
6. (i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵)i³².
7. (i⁶⁴ + i¹⁷ + i¹³ + i⁸²)(i⁷² – i³⁴).

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7x + 5i = 1 – 10iy.
9. (2x + y) – i = 5 + (y – x)i.
10. x + (3x – y)i = 2 – i.
11. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.
12. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i.
13. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).
15. (6 + 2i) + (5 + 3i).
16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).
19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

22–29. Произведите умножение комплексных чисел:

22. (2 + 3i)(5 – 7i).
23. (6 + 4i)(5 + 2i).
24. (3 – 2i)(7 – i).
25. (– 2 + 3i)(3 + 5i).
26. (1 –i)(1 + i).
27. (3 + 2i)(1 + i).
28. (6 + 4i)*3i.
29. (2 – 3i)(– 5i).

30–37. Выполните действия:

30. (3 + 5i)².
31. (2 – 7i)².
32. (6 + i)².
33. (1 – 5i)².
34. (3 + 2i)³.
35. (3 – 2i)³.
36. (4 + 2i)³.
37. (5 – i)³.

38–43. Выполните действия:

38. (3 + 2i)(3 – 2i).
39. (5 + i)(5 – i).
40. (1 – 3i)(1 + 3i).
41. (7 – 6i)(7 + 6i).
42. (a + bi)(a – bi).
43. (m – ni)(m + ni).

44–55. Выполните деление:

56–60. Выполните действия:

61 - 64. Решите уравнения:

61. x² – 4x + 13 = 0.
62. x² + 3x + 4 = 0.
63. 2,5x² + x + 1 = 0.
64. 4x² – 20x + 26 = 0.

Поиск по сайту: