Элементы статистики Ферми-Дирака на примере электронов проводимости в металлах. Электропроводность металлов

Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне дается распределением Ферми – Дирака:

(8.1)

где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура;

E_F – энергия, называемая уровнем Ферми.

Энергия уровня Ферми E_F соответствует такому энергетическому уровню, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы, для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E_F совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е < E_F при , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми.Если Т>0К, то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2. Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рисунке. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) "размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина "размытия" пропорциональна температуре. Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.

Рис. 8.2. Функция распределения Ферми-Дирака при Т>0K

Концентрация свободных электронов в металле при абсолютном ноле равняется

n= (8.2)

g (E)-плотность электронных состояний

g (E)=(4π/h³)·(2m_n)^3/2·E^1/2 (8.3)

где m_n - масса электрона, Е - энергия

(8.4)

Откуда следует, что

E_f=(h²/2m)·(3n/8π)^2/3 (8.5)

Энергия Ферми имеет чисто квантовую природу и обусловлена специфическими свойствами электронов как фермионов. Она не является энергией теплового движения и существует при абсолютном ноле.

Пример 8.1. Рассчитать энергию Ферми для натрия, если его плотность ρ=970 кг/м³, а молярная масса М=23·10^-3 кг/моль.

Решение.

Поскольку металл одновалентный, будем полагать, что концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, определяемой из условия:

n=n_ат=N_ат/V=(N_А·m)/(V·M)= =(N_А· ρ)/M, где N_А- число Авогадро

тогда E_f=(h²/2m)·(3n/8π)^2/3= (h²/2m)·(3 N_А· ρ /8π· M)^2/3

Подставляя числовые данные в СИ получим

E_f=4,9·10^-19Дж=3,1эВ

Пример 8.2.Оценить длину свободного пробега электронов проводимости в меди, считая ее одновалентной, а также концентрацию электронов, если дельная электропроводность меди σ=6,0·10⁷См/м, плотность ρ=8,6·10³ кг/м³

Решение.

Квантовая теория, учитывающая вырожденный характер электронного газа, дает следующие выражения для удельной электропроводности и удельного сопротивления

(8.6)

где n-концентрация свободных электронов, е-заряд электрона, m-его масса, v_ф-скорость фермиевских электронов, не зависящая от температуры, l-средняя длина свободного пробега этих электронов.

Выразим среднюю длину свободного пробега (8.7)

Поскольку медь одновалентна, концентрация электронов в ней приближенно совпадает с концентрацией атомов и определяется из условия:

Максимальной скоростью в металле обладают электроны, энергия которых совпадает с энергией Ферми. Определяем ее приравнивая E_f=mv_f²/2

E_f=(h²/2m)·(3n/8π)^2/3

отсюда

и

Подставляем числовые данные

8.2. Носители заряда в полупроводниках, проводимость полупроводников.

При Т=0 К полупроводники – изоляторы, тока они не проводят. При нагревании кристалла энергия электронов увеличивается и часть из них перебрасывается из валентной зоны в свободную запрещенную зону, которая при этом становится частично заполненной. Тогда в валентной зоне появляются свободные места – «дырки», несущие положительный заряд. Дырки вместе с электронами могут быть носителями тока.

При включении внешнего электрического поля начинается упорядоченное движение электронов против поля, дырок в направлении поля. Полная электропроводность полупроводника

σ = e( pμ_p + nμ_n ) (8.8)

где p и n – концентрации дырок и электронов соответственно; μ_p и μ_n – подвижности дырок и электронов соответственно; е – заряд электрона.

Для собственного полупроводника концентрации дырок и электронов равны

p= n, поэтому удельная проводимость в этом случае

σ = e n (μ_p + μ_n ) (8.9)

Поскольку в полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах, то энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (n = p), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку.

Концентрация электронов в зоне проводимости равна

(8.10)

где - эффективная плотность состояний в зоне проводимости. (8.11)

здесь энергия дна зоны проводимости, - эффективная масса электрона у дна зоны проводимости.

Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. (8.12)

где _- эффективная плотность состояний в валентной зоне. (8.13)

где E_v - энергия потолка валентной зоны, - эффективная масса дырки

Приравнивая концентрации электронов и дырок, получим

(8.14)

Разрешая последнее равенство относительно Е_F, получим

(8.15)

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = , = 0] уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении. Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны.

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

, (8.16)

здесь N_d - концентрация донорных уровней, nd - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равна N_d - n_d).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней Nd на функцию распределения Ферми-Дирака:

(8.17)

где Е_d - энергия активации донорных уровней.

Подстановка в условие электронейтральности концентраций электронов и дырок, а также концентрации электронов на донорных уровнях приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е_F :

(8.18)

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы.

Это уравнение (ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (8.18) имеет вид

. (8.19)

Из уравнения (8.19) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении, который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 8.3. а). Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 8.3. б.

Рис. 8.3. Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Пример 8.3. Определить положение уровня Ферми в Ge n-типа при Т = 300 К, если на 2·10⁶ атомов Ge приходится один атом примеси (донорная). Концентрация атомов в Ge равна 4,4·10²⁸ атомов/м³ (N). Постоянная G в выражении, связывающем число электронов в единице объёма в зоне проводимости с температурой и энергетическими уровнями, равна 4,83·10²¹ м^–3·К^–3/2 (Ge). Ширина запрещённой зоны Еg = 0,72 эВ, а расстояние между дном зоны проводимости и донорным уровнем 0,01 эВ.

Решение.

Концентрация электронов в зоне проводимости определяется выражением

где Е_F – энергия уровня Ферми; Е_С – энергия нижней границы зо-

ны проводимости; k – постоянная Больцмана; Т – температура;

N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

В свою очередь,

где h – постоянная Планка; m*

n– эффективная масса электрона;

G – коэффициент пропорциональности.

Перепишем выражение в виде

последнее и будем анализировать.

Поскольку концентрация атомов в германии N = 4,4·10²⁸ атомов/м³ и на 2·10⁶ атомов германия приходится один атом примеси, а при температуре 300 К разница между донорными уровнями и дном зоны проводимости равна 0,01 эВ при Ез = 0,72 эВ, можно считать, что все атомы доноров будут ионизированы, тогда число свободных электронов в нём составит

Эффективная плотность состояний в зоне проводимости при 300 К из выражения

Окончательно имеем

Таким образом, уровень Ферми находится ниже дна зоны проводимости на 0,18 эВ, что составляет 25 % от ширины запрещённой зоны.

Пример 8.4. Удельное сопротивление чистого германия при некоторой температуре ρ=0,47 Ом м. Подвижности электронов и дырокравны соответственно μ_n=0,38м²/(В·с), μ_p=0,18м²/(В·с). Вычислить их концентрацию

Решение.

Электропроводность полупроводника связана с удельным сопротивлением следующим образом ρ= 1/σ

Удельное сопротивление можно вычислить о приведенной выше формуле σ=σ_n+σ_p=|e| n (μ_n+μ_p)

Тогда концентрация электронов и дырок

Подставляем числовые значения и получаем n=2,3·10¹⁹ м^-3

Пример 8.5. Удельное сопротивление собственного Ge при Т = 300 К ρ = 0,43 Ом·м. Подвижности электронов и дырок в Ge равны соответственно 0,39 и 0,19 м2/В·с. Определить собственную концентрацию электронов и дырок. Какова будет концентрация электронов и дырок при той же температуре, если Ge легироватьпримесью атомов сурьмы так, что один атом примеси приходится на 2·10⁶ атомов Ge? Каково будет удельное сопротивление легированного Gе?

Решение

Удельная проводимость полупроводника σ определяется следующим образом:

σ = e( pμ_p + nμ_n )

Для собственного полупроводника p = n, поэтому удельная проводимость в этом случае

Это и есть собственная концентрация носителей в Ge при 300 К.

Если Ge легирован донорной примесью, то по условию концентрация донорных примесей

При температуре 300 К можно считать, что все атомы примеси ионизированы и n_n = 2,2 ·10²² м−3 . Тогда концентрация дырок в Ge n-типа

Удельное сопротивление легированного полупроводника

так как первым слагаемым в скобках можно пренебречь.

Из анализа решения следует, что при такой степени легирования удельное сопротивление Ge уменьшилось практически на три порядка (собственное ρ = 0,43 Ом·м).

Поиск по сайту: