ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Розглянемо інтеграли від деяких простіших ірраціональних функцій, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

Інтеграли виду

, (6.1)

де – натуральні числа;

– раціональна функція аргументів .

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

, (6.2)

де – найменше спільне кратне знаменників дробів

.

Дійсно,

,

де – раціональна функція від (оскільки – цілі числа).

Приклад 6.1. Знайти інтеграли

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1) Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 6:

НСК(2,3) = 6. Тому застосуємо підстановку .

.

2) Представимо даний інтеграл у вигляді:

.

Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 4. Тому застосуємо підстановку .

.

Виділимо цілу частину

.

3)

.

Запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

.

.

Таким чином,

.

Повернемося до змінної ( ):

.

4) .

Одержано інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділяючи цілу частину, маємо

.

Для знаходження останнього інтегралу запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

,

звідки

.

Маємо,

.

Повертаючись до змінної ( ), одержимо кінцевий результат:

.

Інтеграли виду

(6.3)

де – натуральні числа;

– раціональна функція своїх аргументів.

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

, (6.4)

де – найменше спільне кратне знаменників дробів :

.

Приклад 6.2. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1) Введемо підстановку .

Виразимо через :

;

;

.

.

.

Тому

.

2) Застосуємо підстановку

,

звідки ; .

.

.

Отже,

.

3) Застосуємо підстановку

,

звідки , . Тому

.

Представимо підинтегральну функцію у вигляді

.

Після почленного ділення чисельника дробу на знаменник одержуємо

, де .

Зауважимо, що інтеграли виду

(6.5)

є окремим випадком інтегралів (6.3) коли ( ).

Інтеграли (6.5) раціоналізуються підстановкою

(6.6)

Приклад 6.3. Знайти інтеграл

.

Розв’язання.

.

Інтеграли виду

(6.7)

(6.8)

, (6.9)

– дійсне число.

Кожен з інтегралів (6.7) – (6.9) можна звести до інтегралу від раціональної функції за допомогою тригонометричних підстановок. Укажемо ці підстановки

І. або (6.10)

ІІ. або (6.11)

ІІІ. або . (6.12)

Приклад 6.4. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

Інтеграли виду

(6.13)

( ).

Даний інтеграл за допомогою підстановки

(6.14)

зводиться до одного з інтегралів виду (6.7) – (6.9).

Дійсно,

.

Наведемо всі можливі випадки, коли підкорінний вираз існує.

1. Нехай , .

.

2.Нехай , .

.

3.Нехай , .

.

Відповідні приклади рекомендуємо розв’язати самостійно при виконанні завдань п. 7.6 (інтегрування ірраціональних функцій).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Поиск по сайту: