Інтегрування неправильних раціональних дробів

Правило. Для того, щоб про інтегрувати неправильний раціо­нальний дріб , треба

1. Виділити цілу частину з неправильного раціонального дробу (п. 4.1.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від цілої раці­она­льної функції (п. 4.3) і правильного раціонального дробу (п 4.4.2).

Приклад 4.12. Знайти інтеграл

.

Розв’язання. Підинтегральна функція – неправильний раціо­нальний дріб (степінь чисельника вищий за степінь знаменника). Виділимо цілу частинну.

Отже,

.

Перейдемо до інтегрування правильного раціонального дробу

.

Розкладемо знаменник дробу на множники

.

Квадратичний множник має від’ємний дискри­мінант. За (4.12)

.

.

При .

; ; .

Таким чином,

.

.

Кінцевий результат

.

5. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ФУНКЦІЙ

Насамперед зауважимо, що інтеграли від трансцендентних функцій не завжди обчислюються в елементарних функціях. Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій (п. 4) або до табличних інтегралів (п. 1).

Раціональна функція двох змінних

Означення. Раціональною функцією двох змінних називається функція, що залежить від двох змінних і деяких сталих, над якими виконується тільки скінченна кількість чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення.

Приклад 5.1.

є раціональною функцією від і .

Якщо змінні і , в свою чергу, є функціями незалежної змінної :

,

то функція є раціональною функцією від і .

Приклад 5.2.

Нехай

1) Якщо , , то

.

2) Якщо , , то

.

Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо інтеграл виду

. (5.1)

Зауважимо, що підинтегральну функцію, яка раціонально залежить від будь-яких тригонометричних функцій, завжди можна вважати , оскільки всі тригонометричні функції раціонально виражаються через і :

, , , . (5.2)

І. Універсальна тригонометрична підстановка

Інтеграли виду (5.1) завжди зводяться до інтегралів від раціональних функцій (раціоналізуються) за допомогою універ­сальної тригонометричної підстановки

. (5.3)

За відомими тригонометричними формулами

; . (5.4)

З (5.3) випливає

, звідки . (5.5)

Тому

,

де – раціональна функція від .

За допомогою універсальної тригонометричної підстановки особливо зручно обчислювати інтеграли виду

.

Приклад 5.3. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд (4.12):

.

Тому

.

.

Невідомі коефіцієнти здайдемо за комбінованим методом (п. 4.2.3)

.

Тому

.

Повертаючись до змінної х, маємо

.

Звертаємо увагу, що підстановка зветься універсальною, оскільки вона завжди раціоналізує інтеграл (5.1). Однак вона часто приводить до надто громіздких обчислень. Тому корисно знати також інші прийоми інтегрування, застосування яких до інтегралів певного виду є ефективним.

ІІ. Інтеграли виду

, , (5.6)

Для знаходження інтегралів (5.6) рекомендуються наступні заміни

: заміна ;

: заміна ;

: заміна .

Приклад 5.4. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

Зокрема, при обчисленні інтегралів виду

(5.7)

( – натуральне число)

доцільно застосувати формули

, звідки ; (5.8)

, звідки . (5.9)

Формули (5.8) та (5.9) дозволяють послідовно знизити степінь тангенса або котангенса.

Приклад 5.5. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

ІІІ. Інтеграли виду

(5.10)

у випадках

ІІІ.1. (5.11)

ІІІ.2. (5.12)

ІІІ.3. (5.13)

ІІІ.1. , де .

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

, ( – цілі числа, ).

Приклад 5.6. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція містить у непарному степені (тобто є непарною відносно ), тому застосуємо заміну , звідки .

Зручно спочатку перетворити підинтегральний вираз так, щоб виділити і диференціал нової змінної .

.

2) Підинтегральна функція є непарною відносно .

.

.

3)

.

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд:

.

.

звідки .

звідки .

; ;

; ; .

Отже,

.

.

Тому

ІІІ.2. , де .

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

, де ( – цілі числа ).

Приклад 5.7. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

1. Підинтегральна функція є непарною відносно .

.

2)

.

ІІІ.3. , де .

Підинтегральна функція не змінюється при заміні знаків у і одночасно (тобто є парною відносно і одночасно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

і , де ( – ціле).

Зауважимо, що умова означає: степені чисельника і знаменника є одночасно парними або непарними числами. Для інтегралів

більш ефективною є підстановка

.

Для підстановки з тригонометричних формул

випливає, що .

Аналогічно для підстановки

.

Отже, справедливо

(5.14)

(5.15)

Приклад 5.8. Знайти інтеграли

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно:

.

Застосуємо підстановку .

.

2) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно

.

Застосуємо підстановку .

.

3) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно. Застосуємо підстановку .

.

4) Підинтегральна функція не змінюється з одночасної заміни на та на . Застосуємо підстановку (5.14).

;

;

Отже,

.

У випадку – парне число для інтегралів виду застосовують заміну (5.14), а для інтегралів виду застосовують заміну (5.15).

Приклад 5.9. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

.

2)

.

IV Інтеграли виду

(5.16)

де – цілі невід’ємні числа.

Підинтегральна функція має вигляд добутку парних невід’ємних степенів синуса і косинуса. В цьому випадку застосовують формули зниження степеня:

, (5.17)

, (5.18)

(5.19)

Приклад 5.10. Знайти інтеграли

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1)

.

2) Використовуючи тригонометричні формули зниження степеня (5.17) – (5.19), будемо послідовно зводити заданий інтеграл до табличного.

.

3)

.

V. Інтеграли виду

, ,

де m і n – дійсні числа

Для обчислення інтегралів даного виду використовуються тригонометричні формули:

, (5.20)

, (5.21)

(5.21)

Приклад 5.11. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

1) .

За формулою (5.20)

2) Розглянемо .

Підинтегральний вираз перетворюється наступним чином:

За формулою (5.20)

.

За формулою (5.22)

Тому

.

5.3. Інтеграл виду

Даний інтеграл раціоналізується заміною . Дійсно

,

де – раціональна функція від .

Приклад 5.12. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

1) ;

.

2) .

.

.

Таким чином,

.

Отже,

.

Поиск по сайту: