Нехай після спрощення обох частин розкладу (4.12) маємо два тотожно рівних многочлени (зліва – з відомими коефіцієнтами, справа – з невідомими коефіцієнтами).
З тотожної рівності многочленів випливає, що вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях (Твердження 4.2). Прирівнюючи коефіцієнти многочленів при однакових степенях , дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.
Приклад 4.7. розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .
Розв’язання. В прикладі 4.5. було одержано розклад даного дробу методом окремих значень аргументу. Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Після одержання тотожно рівних многочленів
за результатом алгебраїчних перетворень маємо
.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах рівності:
Розв’яжемо одержану системи лінійних рівнянь.
; ;
; ;
Отже,
.
Звертаємо увагу, що застосування методу окремих значень аргументу до розв’язання цього прикладу є зручнішим.
На практиці часто користуються так званим комбінованим методом, згідно до якого деякі з невідомих коефіцієнтів визначають методом окремих значень аргументу, а інші – методом невизначених коефіцієнтів.
Приклад 4.8. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .
Розв’язання. Цей розклад вже було одержано в прикладі 4.6 методом окремих значень аргументу.
Застосуємо для розв’язання цього прикладу комбінований метод. З (4.14)
,
звідки
. (4.15)
В прикладі 4.6 в результаті надання значень дійсних коренів знаменника ( і ) було одержано
; .
Для знаходження коефіцієнта прирівняємо в (4.15) коефіцієнти при в лівій і правій частинах.
Отже маємо кінцевий результат прикладу (4.6)
.
Інтегрування цілих раціональних функцій
Інтегрування многочлена (4.1) утруднень не викликає. Воно зводиться до інтегрування алгебраїчної суми степеневих функцій (табличний інтеграл 2, п 1.2).
Інтегрування раціональних дробів
Інтегрування елементарних раціональних дробів
Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів кожного з чотирьох видів (4.10)
І. (табличний інтеграл 3, п. 1.2).
ІІ. (табличний інтеграл 2, п. 1.2).
ІІІ. .
Цей результат одержується за методикою знаходження інтегралу (п. 3.3).
IV. З методами знаходження пропонуємо ознайомитися в літературі ([ 2 ]).