Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Перший тип заміни змінної



 

Функція незалежної змінної заміняється новою змінною:

 

.

 

 

.

властивість

інваріантності

формул інтегру-

вання (2.1)

 

Застосуємо заміну змінної до розв’язання прикладу 2.5.

Приклад 2.6. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

1)

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

6)

 

.

Звертаємо увагу, що в прикладах 5) і 6) перетворення підинтегрального виразу до вигляду

 

 

не здійснювалось. Відповідну заміну змінної було спробувано в передбаченні, що таке представлення є можливим. В ітозі вдалося одержати вірні результати інтегрування.

Підкреслимо, що загального «рецепту» вибору тієї чи іншої заміни не існує. Однак, слід мати на увазі наступну рекомендацію: якщо в підінтегральному виразі є готовий диференціал функції (тобто ), або вираз, що відрізняється від лише сталим множником, то є сенс спробувати заміну .

 

Приклад 2.7. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

В цьому прикладі після почленного ділення чисельника дробу підинтегральної функції на знаменник заданий інтеграл зведено до суми двох інтегралів: та .

Перший інтеграл знаходяться безпосередньо:

 

 

.

 

Другий інтеграл береться заміною змінної:

 

 

.

 

Отже, заданий інтеграл

 

.

 

6)

 

.

 

В даному прикладі для досягнення результату довелося зробити заміну змінної двічі. Перша заміна дозволила спростити заданий інтеграл, а друга заміна звела проміжковий інтеграл до табличного інтегралу: .

 

Зауваження. З формул (2.1) і (2.2) випливає справедливість рівності

 

, (2.8)

 

де є функцією з неперервною похідною. Змінюючи місцями букви і в формулі (2.8), одержимо:

 

. (2.9)

 

Отже формула (2.9) є основою другого типа заміни змінної – підстановки.

 

 

Другий тип заміни змінної (підстановка)

 

Незалежна змінна заміняється функцією нової змінної

 

,

 

де має обернену функцію .

Розглянемо у загальному вигляді умови застосування другого типу заміни змінної і наведемо приклади.

 

інтеграл формула для функції

складний для (2.9) відома первісна

безпосереднього

інтегрування

.

Приклад 2.8. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику підинтегральної функції, виконаємо підстановку:

, де . Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і має обернену функцію . Отже,

 

 

 

.

 

2)

 

.

 

3) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо підстановку

 

( , де ).

 

Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і обернену функцію . Маємо

 

 

 

.

 

4)

 

 

 

.

 

5) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Дійсно, . Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику підинтегральної функції в результаті застосування основної тригонометричної тотожності, виконаємо підстановку: , де . є неперервною функцією в області визначення . Функція має обернену функцію , . Отже

 

 

.

Зауважимо, що коли функція . Тому при розв’язанні прикладу правомірний наступний перехід: .

 

6)

 

.

 

Таким чином, на практиці застосують перший і другий типи заміни змінної. Заміну змінної підбирають так, щоб в результаті перетворень інтеграли були табличними або зводилися до відомих інтегралів.

Після застосування методу заміни змінної завжди необхідно повернутися до заданої змінної інтегрування.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.