Функція незалежної змінної заміняється новою змінною:
.
.
властивість
інваріантності
формул інтегру-
вання (2.1)
Застосуємо заміну змінної до розв’язання прикладу 2.5.
Приклад 2.6. Знайти інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Розв’язання.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
Звертаємо увагу, що в прикладах 5) і 6) перетворення підинтегрального виразу до вигляду
не здійснювалось. Відповідну заміну змінної було спробувано в передбаченні, що таке представлення є можливим. В ітозі вдалося одержати вірні результати інтегрування.
Підкреслимо, що загального «рецепту» вибору тієї чи іншої заміни не існує. Однак, слід мати на увазі наступну рекомендацію: якщо в підінтегральному виразі є готовий диференціал функції (тобто ), або вираз, що відрізняється від лише сталим множником, то є сенс спробувати заміну .
Приклад 2.7. Знайти інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Розв’язання.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
В цьому прикладі після почленного ділення чисельника дробу підинтегральної функції на знаменник заданий інтеграл зведено до суми двох інтегралів: та .
Перший інтеграл знаходяться безпосередньо:
.
Другий інтеграл береться заміною змінної:
.
Отже, заданий інтеграл
.
6)
.
В даному прикладі для досягнення результату довелося зробити заміну змінної двічі. Перша заміна дозволила спростити заданий інтеграл, а друга заміна звела проміжковий інтеграл до табличного інтегралу: .
Зауваження. З формул (2.1) і (2.2) випливає справедливість рівності
, (2.8)
де є функцією з неперервною похідною. Змінюючи місцями букви і в формулі (2.8), одержимо:
. (2.9)
Отже формула (2.9) є основою другого типа заміни змінної – підстановки.
Другий тип заміни змінної (підстановка)
Незалежна змінна заміняється функцією нової змінної
,
де має обернену функцію .
Розглянемо у загальному вигляді умови застосування другого типу заміни змінної і наведемо приклади.
інтеграл формула для функції
складний для (2.9) відома первісна
безпосереднього
інтегрування
.
Приклад 2.8. Знайти інтеграли
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Розв’язання.
1) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику підинтегральної функції, виконаємо підстановку:
, де . Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і має обернену функцію . Отже,
.
2)
.
3) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо підстановку
( , де ).
Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і обернену функцію . Маємо
.
4)
.
5) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Дійсно, . Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику підинтегральної функції в результаті застосування основної тригонометричної тотожності, виконаємо підстановку: , де . є неперервною функцією в області визначення . Функція має обернену функцію , . Отже
.
Зауважимо, що коли функція . Тому при розв’язанні прикладу правомірний наступний перехід: .
6)
.
Таким чином, на практиці застосують перший і другий типи заміни змінної. Заміну змінної підбирають так, щоб в результаті перетворень інтеграли були табличними або зводилися до відомих інтегралів.
Після застосування методу заміни змінної завжди необхідно повернутися до заданої змінної інтегрування.