Метод інтегрування частинами. 2.3.1. Формула інтегрування частинами, її зміст та рекомендації щодо застосування.

2.3.1. Формула інтегрування частинами,
її зміст та рекомендації щодо застосування.

Метод інтегрування частинами ґрунтується на використанні формули диференціала добутку двох функцій:

,

звідки випливає рівність

.

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, одержимо

або

.

Оскільки до складу невизначеного інтеграла вже входить довільна стала, то до неї можна приєднати і доданок С. Отже, одержуємо формулу інтегруванні частинами:

. (2.10)

Зміст цієї формули полягає у тому, що при обчисленні невизначеного інтегралу підинтегральний вираз деяким чином представляється у вигляді добутку двох множників: і , тобто

.

Після цього обчислення інтегралу виконується двома інтегруваннями:

1) при обчисленні із виразу :

;

2) при обчисленні інтегралу в правій частині формули (2.10):

.

Замість одного складного інтегрування виконуються два, більш простих.

Таким чином, інтегрування виконується частинами.

Приклад 2.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Представимо підинтегральний вираз у вигляді добутку двох множників х і . Нехай і . Продиференціюємо множник і проінтегруємо множник :

.

Зауважимо, що в результаті останнього інтегрування достатньо знайти один множник , тому вважають, що стала інтегрування .

Маємо

формула інтегрування частинами (2.10)

.

Звертаємо увагу на те, що при інтегруванні частинами треба намагатися, щоб інтеграл справа в формулі (2.10) був простішим, ніж інтеграл зліва.

В розглянутому прикладі, якщо зробити вибір множників і навпаки, ми одержимо справа більш складний інтеграл, ніж зліва:

.

Взагалі метод інтегрування частинами має більш обмежену область застосування, ніж метод заміни змінної. Але існують класи інтегралів, які обчислюються саме методом інтегрування частинами. Укажемо ці класи і надамо рекомендації щодо розбиття підинтегрального виразу на множники і табл. 1.

Таблиця 1 – Деякі рекомендації щодо вибору множників u і dv в методі інтегрування частинами

 

№ класу	Вид інтегралу	u	dv
І	– многочлен; – дійсне число
ІІ	– алгебраїчна функція; – дійсне число ; – натуральне число
ІІІ		Можливий довільний вибір множників u і dv. Після двократного застосування формулі (2.10) одержується лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу
ІV

 

Приклад 2.9. Знайти інтеграли.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При знаходженні всіх інтегралів даного прикладу будемо дотримуватися рекомендацій п. І таблиці 1, відповідно до яких за приймають многочлен, степінь якого при диференціюванні понижується.

Розв’язання.

1)

формула (2.10)

.

2)

формула (2.10)

.

3)

формула (2.10)

.

4)

формула (2.10)

.

При знаходженні інтегралів наступного прикладу будемо дотримуватись рекомендацій п. ІІ таблиці. За множник приймають трансцендентну функцію , , або , яка спрощується при диференціюванні.

Приклад 2.10. Знайти інтеграли.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

2.3.2. Двократне застосування формули
інтегрування частинами

Іноді для знаходження інтегралів формулу інтегрування частинами (2.10) доводиться застосовувати кілька разів. Розглянемо приклад щодо двократного застосування цієї формули.

Приклад 2.11.Знайти інтеграли.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1)

Клас І (табл. 1)

Клас І (табл. 1)

.

2)

Клас ІІ (табл. 1)

Клас ІІ (табл. 1)

.

3)

Клас ІІ (табл. 1)

.

4)

	вибір множників і тепер слід обирати, як при першому інтегруванні

.

В результаті двократного інтегрування частинами в правій частині рівності одержано шуканий інтеграл . Позначимо цей інтеграл І. Отже, одержано лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу І:

. (*)

. (**)

.

.

.

Зауваження. Пояснимо появу сталого множника С в рівності (**). Справа в тому, що кожний з інтегралів І в лівій і правій частині рівності (*) являє собою вираз

,

де – яка-небудь первісна для , а С – довільна стала, яка може обиратися для цих інтегралів по різному. Тому інтеграл І в лівій і правій частині рівності (*) можуть відрізнятися на сталу.

2.3.3. Застосування методу інтегрування частинами
в комбінації з методом заміни змінної.

Приклад 2.12. Знайти інтеграли.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

Знайдемо методом заміни змінної.

.

Отже,

.

3. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИРАЗІВ,
ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

На практиці часто зустрічаються інтеграли, що містять квадратний тричлен у знаменнику підинтегрального виразу, а саме

; ;

; .

Наведемо алгоритми знаходження кожного з цих інтегралів і розглянемо відповідні приклади.

Знаходження інтегралу

(3.1)

Приклад 3.1.Знайти інтеграли

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

Знаходження інтегралу

(3.2)

Аналогічно п. 3.1. перетворимо підкорінний вираз в зна­меннику підинтегральної функції так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів.

.

Тоді

а) якщо , оскільки , то .

Отже,

;

б) якщо , оскільки , то , де .

Отже,

.

Приклад 3.2.Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання.

1)

.

2) .

.

Знаходження інтегралу

(3.3)

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника . Після зазначеного перетворення інтеграл представляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

.

Знайдемо

.

Отже,

.

Приклад 3.3. Знайти інтеграли.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання.

1)

.

Знайдемо перший доданок суми:

.

Знайдемо другий доданок суми:

.

Отже, даний інтеграл

.

2)

.

Знайдемо перший доданок суми:

.

Знайдемо другий доданок суми:

.

Отже, даний інтеграл

.

3)

.

4)

.

Знаходження інтегралу

(3.4)

Аналогічно п 3.3 для знаходження інтегралу застосують прийом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника. Після зазначеного перетворення інтеграл представ­ляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно, перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

.

Знайдемо

.

Отже,

.

Приклад 3.4. Знайти інтеграли:

1) ; 2) .

Розв’язання.

1)

.

Знайдемо

.

Знайдемо

.

Таким чином, даний інтеграл

.

2)

.

Поиск по сайту: