Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль

Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля

. (4.24)

Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки малий, щоб швидкість хвилі і швидкість деформації у всіх його точках були однакові.

Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою

де - кінетична енергія виділеного об’єму; - потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.

Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою

, (4.25)

де ρ - густина середовища виділеного об’єму.

Першу похідну за часом від (4.24) підставимо в (4.25), одержимо

(4.26)

де ─ хвильове число.

У відповідності з рис. 26 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:

Рис. 26

(4.27)

де k – коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (4.8) дорівнює ; ─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.

З урахуванням цих позначень (4.27) матиме вигляд

. (4.28)

Помножимо й поділимо (4.28) на Δх², одержимо

(4.29)

В граничному випадку при Δх=0 одержуємо

(4.30)

Підставимо у формулу (4.30) значення модуля Юнга , і швидкість деформації , одержимо

(4.31)

Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (4.26) і потенціальної енергії (4.31)

(4.32)

Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює , то одержимо середнє значення повної енергії буде дорівнювати

(4.33)

де ΔV=SΔx ─ елементарних об’єм пружного середовища.

Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (4.33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища

. (4.34)

Нехай через площадку S (рис.27), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δt переноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати

, (4.35)

де ─ вектор густини потоку енергії; ─ середня густина перенесеної хвилями енергії; ─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно переносу енергії.

Вектор потоку енергії вперше одержав і розглянув видатний російський фізик Умов. На честь цього фізика він був названий вектором Умова.

Лекція 5. Суперпозиція хвиль

Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість.

Інтерференція хвиль.

Стоячі хвилі.

Поиск по сайту: