Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), якийзмінюється за гармонічним законом:
Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила
(3.1)
З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді
Якщо скористатися позначеннями (2.34), то прийдемо до рівняння
(3.2)
Рівняння (3.2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною
де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.
Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0 , амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 12). З цього моменту часу розв’язком рівняння (3.2) буде функція
(3.3)
Рис. 12
Відповідні похідні від (3.3) підставимо в рівняння (3.2), одержимо
(3.4)
У виразі (3.4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (3.4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 13).
Рис. 13
Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що
. (3.5)
Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати
(3.6)
Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює
(3.7)
З урахуванням співвідношень (3.6) і (3.7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (3.2) матиме вигляд
(3.8)
Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга
(3.9)
Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (3.9), буду мати вигляд
(3.10)
Використовуючи позначення, аналогічні до (2.34), прийдемо до рівняння
(3.11)
Розв’язком рівняння (3.11) є функція, аналогічна до (3.3), тобто
(3.12)
Амплітуда заряду вимушених електромагнітних коливань буде дорівнювати
(3.13)
Похідна за часом від (3.12) дає можливість одержати в коливально-му контурі закон зміни електричного струму