Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування



Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), якийзмінюється за гармонічним законом:

 

Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила

(3.1)

З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді

 

 

Якщо скористатися позначеннями (2.34), то прийдемо до рівняння

 

(3.2)

 

Рівняння (3.2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною

 

 

де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.

Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0 , амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 12). З цього моменту часу розв’язком рівняння (3.2) буде функція

 

(3.3)

 

Рис. 12

 

Відповідні похідні від (3.3) підставимо в рівняння (3.2), одержимо

 

(3.4)

 

У виразі (3.4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (3.4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 13).

 

 

Рис. 13

 

Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що

 

. (3.5)

 

Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати

 

(3.6)

 

Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює

 

(3.7)

 

З урахуванням співвідношень (3.6) і (3.7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (3.2) матиме вигляд

 

(3.8)

 

Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга

 

(3.9)

 

Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (3.9), буду мати вигляд

 

(3.10)

 

Використовуючи позначення, аналогічні до (2.34), прийдемо до рівняння

(3.11)

 

Розв’язком рівняння (3.11) є функція, аналогічна до (3.3), тобто

 

(3.12)

 

Амплітуда заряду вимушених електромагнітних коливань буде дорівнювати

(3.13)

 

Похідна за часом від (3.12) дає можливість одержати в коливально-му контурі закон зміни електричного струму

 

, (3.14)

 

де ─ максимальний струм у коливальному контурі.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.