Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю, допустивши, що вісь х збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х, а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково. Зміщення будь якої точки пружного середовища від положення рівноваги в цьому випадку залежить лише від координати х і часу t, а його величина буде дорівнювати
Розглянемо деяку точку В, якаперебуває на відстані х від джерела коливань (рис. 21). Якщо коливання точок пружного середовища, які лежать у площині х = 0, описуються функцією U(0,t) = A cos , то точка В пружногосередовища теж буде коливатися за тим же законом, але її коливання будуть відставати за часом від коливань джерела на τ, тому що для проходження хвилею відстані х потрібен час τ = , де — швидкість поширення хвилі. Тоді рівняння коливань частинок, які лежать у площині х, буде мати вигляд
(4.2)
де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (4.2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х, має вигляд
(4.3)
де А ─ амплітуда хвилі; ω — циклічна частота хвилі; — початкова фаза коливань, обумовлена вибором початкових значень х і t; [ω (t - x/υ) + φ0] — фаза плоскої хвилі.
В рівнянні (4.3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
(4.4)
З врахуванням (4.4) рівняння (4.3) матиме вигляд
(4.5)
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х, відрізняється від (4.5) тільки знаком члена kх.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
(4.6)
Диференціюємо вираз (4.6) за часом, одержимо
,
звідки
Отже, швидкість υпоширення хвилі в рівнянні (4.6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, а тому її називають фазовою швидкістю.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі — хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
(4.7)
де r— відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає енергії, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом Рівняння (4.7) має місце лише для великих r, які значно перевищуючі розміри джерела коливань (джерело коливань тут можна вважати точковим).
З рівняння (4.3) можна одержати, що
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем.