Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Розглянемо додавання двох гармонічних коливань однакової частоти ω, які відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках уздовж осей x і y. Для простоти початок відліку виберемо так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю:

(2.10)

де φ — різниця фаз обох коливань, А и В — амплітуди цих коливань.

Рівняння траєкторії результуючого коливання знаходиться шляхом виключення з рівнянь (2.10) часу t. Записавши коливання (2.10) у вигляді

і

і замінивши в другому рівнянні на і на одержимо після нескладних перетворень рівняння еліпса, осі якого орієнтовані відносно координатних осей довільно:

(2.11)

Так як траєкторія результуючого коливання має форму еліпса, то такі коливання називаються еліптично поляризованими. Орієнтація осей еліпса і його розміри залежать від амплітуд коливань (2.10) і різниці фаз φ.

Проведемо аналізу рівняння (2.11):

1. Нехай де У даному випадку еліпс вироджується у відрізок прямої, рівняння якої має вигляд

(2.12)

де знак плюс відповідає нулю і парним значенням т (рис.8, а), а знак мінус — непарним значенням т (рис. 8,б).

Результуюче коливання є гармонічним коливанням з частотою ω і амплітудою , яке відбувається уздовж прямої (2.12) і яке складає з віссю Ох кут У даному випадку коливання є лінійно поляризованими.

2. Нехай і . У даному випадку рівняння (2.11) прийме такий вигляд

(2.13)

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 9). Крім того, якщо А = В, то еліпс (2.13) вироджується уколо.Такі коливання називаються циркулярно поляризованими або коливаннями, які мають колову поляризацію.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань будуть різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання буде мати досить складну форму. Замкнуті траєкторії, які утворюються при накладанні двох взаємно перпендикулярних коливань з кратними циклічними частотами, називаються фігурами Лиссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз окремих коливань.

На рис. 10 показані фігури Лиссажу для різних співвідношень частот і різної різниці фаз.

Аналіз фігур Лиссажу — широко використовуваний метод дослідження співвідношень частот і різниці фаз коливань, що складаються, а також форми коливань. Тому вони знаходять широке застосування у вимірювальній техніці.

Рис. 9

Рис.10

Поиск по сайту: