Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 22). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Рис. 22
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
(4.8)
де Е ─ модуль Юнга; ─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х.
В граничному випадку при , рівняння (4.8) запишеться так
(4.9)
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.23). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
(4.10)
Сили в рівнянні (4.10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (4.9) запишуться так
(4.11)
Якщо підставити ці сили (4.11) в другий закон Ньютона (4.10), то після деяких перетворень одержимо
(4.12)
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
m = ρSΔx. (4.13)
Рис.23
З урахуванням значення маси (4.13) і нескладних перетворень рівняння (4.12) запишеться так
(4.14)
Розглянувши граничний випадок при якому , з рівняння (4.14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням
(4.15)
Рівняння (4.15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
(4.16)
Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (4.16)
(4.17)
Після підстановки похідних (4.17) в рівняння (4.15) та необхідних скорочень одержимо
(4.18)
Але оскільки , то хвильове рівняння (4.15) буде мати інший вигляд
(4.19)
Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
(4.20)
Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (4.20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (4.20) на модуль зсуву G
(4.21)
Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
(4.22)
Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (4.15) і (4.19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
(4.23)
Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.