В двух словах, тор – это бублик. Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности. Сначала с конкретными числовыми значениями:
Пример 1
Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси .
Решение: как вы знаете, уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:
Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образуетповерхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг, ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:
1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:
Берём функцию и находим её производную:
Далее максимально упрощаем корень:
И, наконец, заряжаем результат в формулу:
Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.
2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:
3) Таким образом, площадь поверхности тора:
Ответ:
Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ . Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.
Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки:
Что только мы не делали с параболойза годы обучения, поэтому было бы большим упущением не покрутить её в своё удовольствие:
Пример 2
Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы вокруг оси на промежутке .
Здесь нужно рассмотреть верхнюю ветвь и действовать по стандартному алгоритму. Сама поверхность вращения, как многие представили, напоминает «кружку с яйцевидным дном», что кармически намного лучше дырявого горшка =)
Краткое решение и ответ в конце урока.
Чертёж в рассматриваемом типе задач не обязателен (кроме затейливых примеров), но всегда полезно хотя бы иметь представление о поверхности вращения.