Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:
, где – значения, определяющие точки и .
В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии).
Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:
Пример 4
Вычислить длину дуги кривой
Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.
Используем формулу .
Сначала найдём производные:
и упростим сумму их квадратов:
Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.
Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:
А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня инеобходимо придерживаться следующего правила:
, если функция на промежутке , или , если на данном промежутке.
Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.
На отрезке , следовательно, их произведение неположительное: и поэтому
Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.
Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:
Ответ:
Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды равна . В нашей задаче и мы рассчитали длину «четвертинки»:
, что и требовалось проверить.
Тренируемся самостоятельно:
Пример 5
Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой
Примерный образец оформления задачи и в конце урока.