Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?



Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии ).

Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:

Пример 4

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня инеобходимо придерживаться следующего правила:

, если функция на промежутке ,
или , если на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное: и поэтому

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Ответ:

Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды равна . В нашей задаче и мы рассчитали длину «четвертинки»:

, что и требовалось проверить.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 5

Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Примерный образец оформления задачи и в конце урока.

Продолжаем динамично закатывать асфальт:

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.