Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Как построить фигуру, если её НАДО построить, но под рукой нет программы?



Не унываем, схематический чертёж отнимет не так уж много времени. Такой версии, скорее всего, будет достаточно, ведь это не главная часть задания.

В который раз взглянем на график косинуса:

на интервале косинус принимает такие же по модулю значения, что и на интервале , только со знаком «минус». Поскольку у нас косинус возводится в квадрат, то фигура, ограниченная графиком функции , будет состоять из двух одинаковых и симметричных относительно полюса частей, вершины которых, очевидно, находятся в следующих точках:

Так же очевидно, что при полярный радиус равен нулю.

Давайте найдём дополнительную опорную точку. Напрашивается угол в 45 градусов:

В силу симметрии линии:

Как называется эта фигура, я не знаю, …сейчас немного проанализировал, …какая-тоалгебраическая кривая 6-го порядка:

По ходу пьесы всячески приветствуется импровизация, так, в данном примере уместно найти значение для более точного построения чертежа.

Ну и, конечно же, не забываем по клеточкам оценить, что полученное значение площади похоже на правду.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Если на пути встаёт область определения, то блицкриг тоже вполне осуществим:

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: данное уравнение задаёт двухлепестковую полярную розу, область определения: . Лепестки одинаковы, поэтому достаточно найти площадь одного из них, а результат удвоить. Удваивать рекомендую сразу же (в конце задания забывается просто «на ура»):

(*) На данном шаге использовали чётность подынтегральной функциина симметричном относительно нуля отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения это означает, что лепесток розы симметричен относительно своей центральной оси. В предыдущих двух примерах фигуры тоже были симметричными, но, как ни странно, в рассматриваемом типе задач излишнее обмусоливание данного факта зачастую только удлиняет решение.

Ответ:

Если считать, что уравнение задано в обобщенных полярных координатах, то данная роза будет иметь 4 лепестка, и, соответственно, результат следует умножить ещё на два. Но, как я уже советовал в курсе аналитической геометрии, осмотрительнее рассматривать классику, где полярный радиус неотрицателен.

Следующие короткие задачи предназначены для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат.

Пример 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат.

Кривая 4-го примера называется лемнискатой Бернулли, в 5-ом примере данатрёхлепесковая роза. Напоминаю, что если есть возможность быстро построить чертеж, то его лучше построить. А здесь они, к слову, быстро строятся и вручную.

После интенсивной разминки на опушке надеваем хоккейную маску и с воодушевлением углубляемся в лес за новыми жертвами:

Пример 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: в условии даны две линии, и здесь хоть о чертеже и молчок, но без него уже трудно. Какую кривую задаёт уравнение ? В статье о полярных координатах мы подробно разбирали и строили график полярной розы с лепестками на промежутках . Знак «минус» всё перевернёт с ног на голову (а если академичнее – отобразит симметрично относительно полярной оси и её продолжения) и лепестки розы расположатся в секторах .

Уравнение же значительно проще, оно определяет типовую окружность:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. Чтобы вычислить её площадь, нужно из площади круга вычесть площадь одного лепестка розы.

1) Вычислим площадь круга. Пределы интегрирования , по формуле:

Результат, не забываем, легко проверяется с помощью школьной формулы.

2) Вычислим площадь лепестка розы, расположенного в пределах :

3) Площадь искомой фигуры:

… математический каламбур прямо какой-то =)

Ответ: , что весьма правдоподобно

В рассмотренном примере фигурировали разные отрезки интегрирования, и площадь выразилась разностью . Однако на практике данные промежутки чаще совпадают и по причине линейности интеграла формула упрощается. Сформулирую правило в общем виде: если функции непрерывны и неотрицательны на некотором отрезке , и при этом , то площадь фигуры, ограниченной отрезками лучей и данными линиями, равна:

Нетрудно уловить, что общий мотив похож на вычисление площади в прямоугольных координатах по формуле , где из «верхней» функции, вычитается «нижняя».

Следующий баян лучше не пропускать:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Краткое решение с чертёжом в конце урока.

И в заключение ещё одна распространённая разновидность задачи, после чего будет специальное предложение для самых увлечённых маньяков:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
.

Решение: с художеством особых проблем не возникает, однако фигура, ограниченная окружностями , не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол , из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:

Сначала разберёмся, как найти луч , по которому пересекаются окружности. Очень просто – приравниваем функции и решаем уравнение:

Сбрасываем косинус на нижний ярус левой части и превращаем дробь в тангенс:

Таким образом:

Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:

1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности (внимание!!) (синяя штриховка).

2) На промежутке фигура ограничена тем же отрезком луча и дугой окружности (зелёная штриховка).

Интегралы настоятельно рекомендую считать РАЗДЕЛЬНО – риск допустить ошибку по невнимательности как никогда велик. Только что ещё раз убедился на собственном опыте, пытаясь оформить решение «одной строкой».

3) А вот теперь пользуемся аддитивностью площади:

Ответ:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
. Выполнить чертёж.

Заметьте, что условие данной задачи требует выполнения чертёжа (даже если Вы с ходу представили, как выглядит фигура и даже если мысленно всё рассчитали). Всегда обращайте внимание на формулировку. Примерный образец решения совсем близко.

Надо сказать, что я разобрал не самые сложные задания, дабы не отпугнуть «чайников». Желающие могут ознакомиться с дополнительными прорешанными примерами из сборника Кузнецова (задача №16). Но всё-таки приберегите немного сил на вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными линиями=)

И удачи вам в пятницу 13-го!

Решения и ответы:

Пример 2:Решение: найдём область определения: – любое.
Площадь фигуры вычислим по формуле , в данном случае :

Ответ:
Примечание: линия, которой ограничена данная фигура, называется кардиоидой, чертёж можно посмотреть в Примере №6 урокаКак построить график в полярной системе координат?

Пример 4:Решение: область определения: . Фигура состоит из двух одинаковых частей. Используя формулу , вычислим площадь на отрезке , результат удвоим:

Ответ:

Пример 5:Решение: данное уравнение задаёт трёхлепестковую розу, область определения:

Используя формулу , вычислим площадь фигуры на отрезке , результат утроим:

Ответ:

Пример 7:Решение: выполним чертёж:

На отрезке , таким образом:

Ответ:

Пример 9:Решение: найдём угловое направление пересечения окружностей:

По условию , поэтому рассматриваем противоположнонаправленный луч . Выполним чертёж:

1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .

2) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .

3) Площадь фигуры:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?


 

 


Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения,
если линия задана параметрически?

 

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Встречайте старую знакомую:

Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.