Не унываем, схематический чертёж отнимет не так уж много времени. Такой версии, скорее всего, будет достаточно, ведь это не главная часть задания.
В который раз взглянем на график косинуса:
на интервале косинус принимает такие же по модулю значения, что и на интервале , только со знаком «минус». Поскольку у нас косинус возводится в квадрат, то фигура, ограниченная графиком функции , будет состоять из двух одинаковых и симметричных относительно полюса частей, вершины которых, очевидно, находятся в следующих точках:
Так же очевидно, что при полярный радиус равен нулю.
Давайте найдём дополнительную опорную точку. Напрашивается угол в 45 градусов:
В силу симметрии линии:
Как называется эта фигура, я не знаю, …сейчас немного проанализировал, …какая-тоалгебраическая кривая 6-го порядка:
По ходу пьесы всячески приветствуется импровизация, так, в данном примере уместно найти значение для более точного построения чертежа.
Ну и, конечно же, не забываем по клеточкам оценить, что полученное значение площади похоже на правду.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Если на пути встаёт область определения, то блицкриг тоже вполне осуществим:
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
Решение: данное уравнение задаёт двухлепестковую полярную розу, область определения: . Лепестки одинаковы, поэтому достаточно найти площадь одного из них, а результат удвоить. Удваивать рекомендую сразу же (в конце задания забывается просто «на ура»):
(*) На данном шаге использовали чётность подынтегральной функциина симметричном относительно нуля отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения это означает, что лепесток розы симметричен относительно своей центральной оси. В предыдущих двух примерах фигуры тоже были симметричными, но, как ни странно, в рассматриваемом типе задач излишнее обмусоливание данного факта зачастую только удлиняет решение.
Ответ:
Если считать, что уравнение задано в обобщенных полярных координатах, то данная роза будет иметь 4 лепестка, и, соответственно, результат следует умножить ещё на два. Но, как я уже советовал в курсе аналитической геометрии, осмотрительнее рассматривать классику, где полярный радиус неотрицателен.
Следующие короткие задачи предназначены для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат.
Пример 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат.
Кривая 4-го примера называется лемнискатой Бернулли, в 5-ом примере данатрёхлепесковая роза. Напоминаю, что если есть возможность быстро построить чертеж, то его лучше построить. А здесь они, к слову, быстро строятся и вручную.
После интенсивной разминки на опушке надеваем хоккейную маску и с воодушевлением углубляемся в лес за новыми жертвами:
Пример 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение: в условии даны две линии, и здесь хоть о чертеже и молчок, но без него уже трудно. Какую кривую задаёт уравнение ? В статье о полярных координатах мы подробно разбирали и строили график полярной розы с лепестками на промежутках . Знак «минус» всё перевернёт с ног на голову (а если академичнее – отобразит симметрично относительно полярной оси и её продолжения) и лепестки розы расположатся в секторах .
Уравнение же значительно проще, оно определяет типовую окружность:
Искомая фигура заштрихована синим цветом. Чтобы вычислить её площадь, нужно из площади круга вычесть площадь одного лепестка розы.
1) Вычислим площадь круга. Пределы интегрирования , по формуле:
Результат, не забываем, легко проверяется с помощью школьной формулы.
2) Вычислим площадь лепестка розы, расположенного в пределах :
3) Площадь искомой фигуры:
… математический каламбур прямо какой-то =)
Ответ: , что весьма правдоподобно
В рассмотренном примере фигурировали разные отрезки интегрирования, и площадь выразилась разностью . Однако на практике данные промежутки чаще совпадают и по причине линейности интеграла формула упрощается. Сформулирую правило в общем виде: если функции непрерывны и неотрицательны на некотором отрезке , и при этом , то площадь фигуры, ограниченной отрезками лучей и данными линиями, равна:
Нетрудно уловить, что общий мотив похож на вычисление площади в прямоугольных координатах по формуле , где из «верхней» функции, вычитается «нижняя».
Следующий баян лучше не пропускать:
Пример 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Краткое решение с чертёжом в конце урока.
И в заключение ещё одна распространённая разновидность задачи, после чего будет специальное предложение для самых увлечённых маньяков:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах .
Решение: с художеством особых проблем не возникает, однако фигура, ограниченная окружностями , не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол , из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:
Сначала разберёмся, как найти луч , по которому пересекаются окружности. Очень просто – приравниваем функции и решаем уравнение:
Сбрасываем косинус на нижний ярус левой части и превращаем дробь в тангенс:
Таким образом:
Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:
1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности (внимание!!) (синяя штриховка).
2) На промежутке фигура ограничена тем же отрезком луча и дугой окружности (зелёная штриховка).
Интегралы настоятельно рекомендую считать РАЗДЕЛЬНО – риск допустить ошибку по невнимательности как никогда велик. Только что ещё раз убедился на собственном опыте, пытаясь оформить решение «одной строкой».
3) А вот теперь пользуемся аддитивностью площади:
Ответ:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах . Выполнить чертёж.
Заметьте, что условие данной задачи требует выполнения чертёжа (даже если Вы с ходу представили, как выглядит фигура и даже если мысленно всё рассчитали). Всегда обращайте внимание на формулировку. Примерный образец решения совсем близко.
Надо сказать, что я разобрал не самые сложные задания, дабы не отпугнуть «чайников». Желающие могут ознакомиться с дополнительными прорешанными примерами из сборника Кузнецова (задача №16). Но всё-таки приберегите немного сил на вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными линиями=)
И удачи вам в пятницу 13-го!
Решения и ответы:
Пример 2:Решение: найдём область определения: – любое. Площадь фигуры вычислим по формуле, в данном случае:
Ответ: Примечание: линия, которой ограничена данная фигура, называется кардиоидой, чертёж можно посмотреть в Примере №6 урокаКак построить график в полярной системе координат?
Пример 4:Решение: область определения:. Фигура состоит из двух одинаковых частей. Используя формулу, вычислим площадь на отрезке, результат удвоим: Ответ:
Пример 5:Решение: данное уравнение задаёт трёхлепестковую розу, область определения: Используя формулу, вычислим площадь фигуры на отрезке, результат утроим: Ответ:
Пример 7:Решение: выполним чертёж: На отрезке, таким образом: Ответ:
Пример 9:Решение: найдём угловое направление пересечения окружностей: По условию, поэтому рассматриваем противоположнонаправленный луч. Выполним чертёж: 1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности. 2) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности. 3) Площадь фигуры: Ответ:
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения, если линия задана параметрически?
На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.
Встречайте старую знакомую:
Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле или, если короче: .
Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .