Помимо нахождения площади и объёма тела вращения, вездесущий определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой. И в данной статье мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением в полярной системе координат. Для каждого случая будут разобраны практические примеры с подробными комментариями о типичных особенностях решения этой задачи. Более того, по ходу изложения материала вас ждёт специальное предложение, которое должно понравиться ;-)
Пусть некоторая функция непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :
В предположение о непрерывности производной на , длинакривой выражается формулой:
или компактнее:
Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции(при разумеющемся условии). Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).
Другой хорошей новостью является тот факт, что в практических примерах, как правило,не нужно строить чертежа. Это была единственная иллюстрация в статье, чтобы вы быстрее поняли, о чём вообще идёт речь. Впрочем, начнём с кривой, которую всем вбили в голову ещё в далёком детстве =)
Пример 1
Вычислить длину дуги параболы от точки до точки
Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования и используем формулу:
А вот и первый камень преткновения. Интеграл данного вида детально разобран в Примере №5 урока Сложные интегралы, он интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:
Ответ:
Скрупулёзно не проверял, но если взглянуть на параболу, то очень и очень похоже на правду. Громоздких и страшных результатов бояться не нужно, рАвно, как и длинных решений!
Следующие разминочные задачи для самостоятельного решения
Пример 2
Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки
Интеграл здесь будет значительно проще, чем в предыдущем примере. Однако за кажущейся простотой нередко скрывается коварство. Так, вроде бы похожее условие «Вычислить длину дуги полукубической параболы на промежутке » далеко не эквивалентно и приводит к совершенно другому ответу.
Да, в рассматриваемом типе задач обычно не требуется выполнять чертёж, но всегдаполезно, а иногда и очень важнознать, что это за линия и КАК выглядит ей график ;-)
Пример 3
Вычислить длину дуги кривой ,
Это более распространённый вариант формулировки – когда промежуток интегрирования указан в виде двойного неравенства.
А что тут смущает? Люди без комплексов давно интегрируют по любой переменной, и я ещё в статье Объем тела вращения предлагал вам расширить свои взгляды =)
Обратная функция и её производная непрерывны на отрезке , поэтому применима зеркальная формула , где и , естественно, уже «игрековые» пределы интегрирования.
Кстати, в первом примере можно рассмотреть правую ветвь параболы с пределами интегрирования , правда, хрен редьки не слаще. Хотя любители оценят, интеграл получается трудный, но вполне реалистичный.
В следующем параграфе рассмотрим критически важную вещь, касающуюся всех задач урока: