Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Общая концепция задачи интегрирования



В предыдущих пунктах мы разобрали задачу нахождения площади, но это частная и довольно малая область применения интегрального исчисления. Существует великое множество задач интегрирования, при этом наибольшим разнообразием отличается даже не математика, а физика. Вернёмся к самому смыслу термина: интегрирование – это объединение. А объединить, как вы понимаете, можно много чего =) И в общем виде задача интегрирования ставится следующим образом, не судите строго, формулирую своими словами:

Требуется найти значение величины на отрезке . Величина – это не обязательно площадь, объём либо какое-то другое геометрическое понятие. Это может быть что-нибудь с ярко выраженным физическим смыслом, например, работа силы. При этом известнапроизводная величина, заданная функцией на том же промежутке . Рассматриваемый отрезок и аргумент «тау» – тоже не обязательно геометрия, речь может идти, скажем, о временнОм промежутке и времени.

В предположении о непрерывности функции на , задача решается в два этапа:

Сначала рассматривается бесконечно малый отрезок промежутка , на котором произведение равно бесконечно малому «кусочку» от разыскиваемого значения . То есть, справедливо равенство .

Далее проводится объединение (интегрирование) всех бесконечно малых элементов по отрезку , в результате чего и получается суммарное значение искомой величины: .

Примечание: в теории и практике вышеизложенные равенства почти всегда записывают в обратном порядке: . Стандарты нарушены только для лучшего понимания материала.

Давайте вспомним 1-ый чертёж урока, где мы установили, что площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу . Ведь что такое произведение ? Данное произведение выражает площадь прямоугольника с высотой и бесконечно малой длиной . Иными словами, это элементарный «кирпичик» площади: .

Объединяя (интегрируя) эти бесконечно малые прямоугольники по отрезку , мы и получаем площадь всей криволинейной трапеции: .

Заключительные примеры позволят вам ещё лучше понять сущность интегрирования:

Пример 2

Вычислить объём эллипсоида

Решение: перепишем уравнение эллипсоида в каноническом виде и выполним чертёж. Ввиду симметрии тела достаточно вычислить объём в 1-ом октанте:

Прежде всего, обратим внимание на заштрихованную «площадку» – она представляет собой «четвертинку» эллипса с большой полуосью и малой полуосью , длины которых зависят от значения «зет». Сама площадь , разумеется, тоже величина переменная: мысленно положите сверху ладошку и начните опускать лифт вниз. Длины , а вместе с ними и площадь – начнут возрастать. Максимальные значения будет достигнуты в плоскости : . В Примере №2 урока о площади и объеме при параметрически заданной линии выведена формула площади эллипса . У нас же одна четверть эллипса, поэтому площадь «на нулевом этаже» будет составлять

Теперь поднимаем заштрихованную «площадку» ладошкой вверх – полуоси и площадь будут уменьшаться – до тех пор, пока при не выродятся в точку; площадь здесь станет нулевой: .

В чём состоит трудность нахождения объёма данного тела? Трудность состоит в том, что стОит нам чуть-чуть «дёрнуться» и площадь эллипса изменится. Что делать? Использовать общий принцип интегрирования:

На первом шаге рассматриваем «площадку» бесконечно малой толщины . При этом произведение площади на высоту будет равно элементарному, бесконечно малому элементу объема тела: .

На втором шаге «плавно поднимаемся на лифте с 0-го на 5-ый этаж», объединяя ВСЕ элементарные слои объёма: – получая тем самым итоговый объём тела.

Суть разобрана, остальное – дело техники:

1) Найдём функцию длины большой полуоси эллипса. Для этого в уравнении эллипсоида обнуляем «игрековую» координату:

Поскольку дело происходит в 1-ом октанте, то перед корнем будет знак «плюс»:

2) Аналогично находим функцию длины малой полуоси. В уравнении эллипсоида обнуляем «иксовую» координату и выражаем :

3) Составим функцию площади , не забывая, что это «четвертинка» эллипса:

И, наконец, «запускаем лифт», объединяя элементарные частички объёма :

Так как рассматривалась только часть эллипсоида, результат умножаем на 8.

Ответ:

Если решить задачу с каноническим уравнением (в общем виде), то получится формула объема эллипсоида:

Следует отметить, что в общем случае эллипсоид не является телом вращения, поэтому к нему не применим «обычный» метод нахождения объема, изложенный в статье Объем тела вращения. Таким образом, разобранная задача оказывается не только поучительной, но ещё и крайне полезной. Желающие могут найти здесь ещё порядка 30-ти похожих примеров и потренироваться.

Для полноценной картины как нельзя кстати будет физика:

Пример 3

Найти путь, пройдённый телом в промежуток времени от до , если известен закон изменения его скорости (м/с)

Решение: обозначим через расстояние, пройдённое телом за 5 – 2 = 3 секунды – начиная с момента времени и заканчивая моментом .

Немного проанализируем задачу. Вот если бы тело двигалось с постоянной скоростью, например, 7 м/с, то никаких проблем – оно бы за 3 секунды прошло путь в метр. Но у нас движение даже не равноускоренное (при котором ещё можно извернуться без матана) – у нас закон изменения скорости нелинейный. При этом в начальный момент времени скорость равна м/с, а в конечный момент: м/с. Но от этой информации легче не стало – какое расстояние успело пройти тело за эти три секунды?! Задание осложняется ещё и тем, что скорость существенно возрастает даже за малые промежутки времени, поэтому у нас нет и близкой оценки пройдённого пути.

Как быть? На помощь приходит интегрирование. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени , на котором скорость тела можно считать постоянной (или, как говорят физики,мгновенной). Тогда произведение данной скорости на промежуток времени равноэлементарному бесконечно малому «кусочку» пройдённого пути: (скорость умножить на время – это же расстояние, верно?).

Всё что осталось сделать – это объединить микроскопические «шажочки» на временнОм промежутке :

Ответ: 45 метров

Ну а у меня такое впечатление, что эту статью я создавал 45 лет =) …хотя вроде бы она не самая большая, да и чертежи быстро сделал… Наверное по той причине, что довольно долго обдумывал, что включить в содержание, а что оставить за кадром. Так или иначе, думаю, что отобранная информация значительно повысила ваш уровень понимания темы.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?


 

 

Как вычислить объем тела вращения
с помощью определенного интеграла?

 

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интегралаважнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решатьнеопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности вращения и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс ;
– вокруг оси ординат .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь кзадаче нахождения площади фигуры, и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

 

Вычисление объема тела, образованного вращением
плоской фигуры вокруг оси

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функцийи Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.

Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси . На самом деле у тела есть математическое название, но по справочнику что-то лень уточнять, поэтому едем дальше.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.