В предыдущих пунктах мы разобрали задачу нахождения площади, но это частная и довольно малая область применения интегрального исчисления. Существует великое множество задач интегрирования, при этом наибольшим разнообразием отличается даже не математика, а физика. Вернёмся к самому смыслу термина: интегрирование – это объединение. А объединить, как вы понимаете, можно много чего =) И в общем виде задача интегрирования ставится следующим образом, не судите строго, формулирую своими словами:
Требуется найти значение величины на отрезке . Величина – это не обязательно площадь, объём либо какое-то другое геометрическое понятие. Это может быть что-нибудь с ярко выраженным физическим смыслом, например, работа силы. При этом известнапроизводная величина, заданная функцией на том же промежутке . Рассматриваемый отрезок и аргумент «тау» – тоже не обязательно геометрия, речь может идти, скажем, о временнОм промежутке и времени.
В предположении о непрерывности функции на , задача решается в два этапа:
Сначала рассматривается бесконечно малый отрезок промежутка , на котором произведение равно бесконечно малому «кусочку» от разыскиваемого значения . То есть, справедливо равенство .
Далее проводится объединение (интегрирование) всех бесконечно малых элементов по отрезку , в результате чего и получается суммарное значение искомой величины: .
Примечание: в теории и практике вышеизложенные равенства почти всегда записывают в обратном порядке:. Стандарты нарушены только для лучшего понимания материала.
Давайте вспомним 1-ый чертёж урока, где мы установили, что площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу . Ведь что такое произведение ? Данное произведение выражает площадь прямоугольника с высотой и бесконечно малой длиной . Иными словами, это элементарный «кирпичик» площади: .
Объединяя (интегрируя) эти бесконечно малые прямоугольники по отрезку , мы и получаем площадь всей криволинейной трапеции: .
Заключительные примеры позволят вам ещё лучше понять сущность интегрирования:
Пример 2
Вычислить объём эллипсоида
Решение: перепишем уравнение эллипсоида в каноническом виде и выполним чертёж. Ввиду симметрии тела достаточно вычислить объём в 1-ом октанте:
Прежде всего, обратим внимание на заштрихованную «площадку» – она представляет собой «четвертинку» эллипса с большой полуосью и малой полуосью , длины которых зависят от значения «зет». Сама площадь , разумеется, тоже величина переменная: мысленно положите сверху ладошку и начните опускать лифт вниз. Длины , а вместе с ними и площадь – начнут возрастать. Максимальные значения будет достигнуты в плоскости : . В Примере №2 урока о площади и объеме при параметрически заданной линии выведена формула площади эллипса . У нас же одна четверть эллипса, поэтому площадь «на нулевом этаже» будет составлять
Теперь поднимаем заштрихованную «площадку» ладошкой вверх – полуоси и площадь будут уменьшаться – до тех пор, пока при не выродятся в точку; площадь здесь станет нулевой: .
В чём состоит трудность нахождения объёма данного тела? Трудность состоит в том, что стОит нам чуть-чуть «дёрнуться» и площадь эллипса изменится. Что делать? Использовать общий принцип интегрирования:
На первом шаге рассматриваем «площадку» бесконечно малой толщины . При этом произведение площадина высоту будет равно элементарному, бесконечно малому элементу объема тела: .
На втором шаге «плавно поднимаемся на лифте с 0-го на 5-ый этаж», объединяя ВСЕ элементарные слои объёма: – получая тем самым итоговый объём тела.
Суть разобрана, остальное – дело техники:
1) Найдём функцию длины большой полуоси эллипса. Для этого в уравнении эллипсоида обнуляем «игрековую» координату:
Поскольку дело происходит в 1-ом октанте, то перед корнем будет знак «плюс»:
2) Аналогично находим функцию длины малой полуоси. В уравнении эллипсоида обнуляем «иксовую» координату и выражаем :
3) Составим функцию площади , не забывая, что это «четвертинка» эллипса:
И, наконец, «запускаем лифт», объединяя элементарные частички объёма :
Так как рассматривалась только часть эллипсоида, результат умножаем на 8.
Ответ:
Если решить задачу с каноническим уравнением (в общем виде), то получится формула объема эллипсоида:
Следует отметить, что в общем случае эллипсоид не является телом вращения, поэтому к нему не применим «обычный» метод нахождения объема, изложенный в статье Объем тела вращения. Таким образом, разобранная задача оказывается не только поучительной, но ещё и крайне полезной. Желающие могут найти здесь ещё порядка 30-ти похожих примеров и потренироваться.
Для полноценной картины как нельзя кстати будет физика:
Пример 3
Найти путь, пройдённый телом в промежуток времени от до , если известен закон изменения его скорости (м/с)
Решение: обозначим через расстояние, пройдённое телом за 5 – 2 = 3 секунды – начиная с момента времени и заканчивая моментом .
Немного проанализируем задачу. Вот если бы тело двигалось с постоянной скоростью, например, 7 м/с, то никаких проблем – оно бы за 3 секунды прошло путь в метр. Но у нас движение даже не равноускоренное (при котором ещё можно извернуться без матана) – у нас закон изменения скорости нелинейный. При этом в начальный момент времени скорость равна м/с, а в конечный момент: м/с. Но от этой информации легче не стало – какое расстояние успело пройти тело за эти три секунды?! Задание осложняется ещё и тем, что скорость существенно возрастает даже за малые промежутки времени, поэтому у нас нет и близкой оценки пройдённого пути.
Как быть? На помощь приходит интегрирование. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени , на котором скорость тела можно считать постоянной (или, как говорят физики,мгновенной). Тогда произведение данной скорости на промежуток времени равноэлементарному бесконечно малому «кусочку» пройдённого пути: (скорость умножить на время – это же расстояние, верно?).
Всё что осталось сделать – это объединить микроскопические «шажочки» на временнОм промежутке :
Ответ: 45 метров
Ну а у меня такое впечатление, что эту статью я создавал 45 лет =) …хотя вроде бы она не самая большая, да и чертежи быстро сделал… Наверное по той причине, что довольно долго обдумывал, что включить в содержание, а что оставить за кадром. Так или иначе, думаю, что отобранная информация значительно повысила ваш уровень понимания темы.
Желаю успехов!
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интегралаважнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решатьнеопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.
Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности вращения и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!
Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:
– вокруг оси абсцисс ; – вокруг оси ординат .
В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь кзадаче нахождения площади фигуры, и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.
Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .
Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функцийи Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси . На самом деле у тела есть математическое название, но по справочнику что-то лень уточнять, поэтому едем дальше.