Приближенное вычисление определенных интегралов

Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона – Лейбница. Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Помимо того в при решении прикладных задач сплошь и рядом встречаются так называемые «неберущиеся» интегралы ( см. п.2.7).

Поэтому в приложениях используют приближённые методы вычисления определённых интегралов – так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Эти методы незаменимы также для подавляющего большинства «берущихся» интегралов. Роль численных методов возрастает в связи с возникающими возможностями современной вычислительной техники, реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

Формулы приближённого интегрирования называют квадратурными¹⁾ формулами

Посмотрим на задачу приближённого интегрирования с геометрической точки зрения.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Предположим дополнительно, что на .

Требуется найти приближённое значение интеграла

Задача приближённого вычисления интеграла в этом случае равносильна задаче приближённого вычисления площади криволинейной трапеции под кривой на отрезке . Основная идея приближённого интегрирования состоит в том, что площадь криволинейной трапеции приближённо заменяется площадью фигуры, составленной из простых геометрических фигур: прямоугольников, обычных трапеций и «параболических» трапеций.

Опишем принцип построения этой фигуры. Разобьем отрезок на равных частей точками:

Обозначим длину частичного отрезка . Разобьём криволинейную

Рис. 2.48

___________________________

¹⁾ Напомним, квадратура – вычисление площади.

трапецию на элементарные части вертикальными отрезками, проведёнными через точки дробления отрезка .

Для уяснения сути приближённого интегрирования рассмотрим при малых интеграл – элементарный интеграл, представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции (элементарной криволинейной трапеции, изображённой на рис.2.48). Заменим элементарную криволинейную трапецию прямоугольниками: левым (рис. 2.31); средним рис.2.32); правым (рис.2.33) и прямолинейной трапецией (рис.2.34). В результате получим формулы для приближённого вычисления элементарного интеграла

Для уяснения сути приближённого интегрирования рассмотрим при малых интеграл – элементарный интеграл, представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции (элементарной криволинейной трапеции, изображённой на рис.2.48). Заменим элементарную криволинейную трапецию прямоугольниками: левым (рис. 2.31); средним рис.2.32); правым (рис.2.33) и прямолинейной трапецией (рис.2.34). В результате получим формулы для приближённого вычисления элементарного интеграла

Рис. 2.49. Рис. 2.50.

Рис. 2. 51. Рис. 2.52.

Приближённое значение интеграла получим, суммируя приближённые значения всех элементарных интегралов по частичным отрезкам отрезка . В результате имеем основные квадратурные формулы – формулы левых, средних и правых прямоугольников а также формулу трапеций.

Наиболее простыми квадратурными формулами являются формулы прямоугольников:

формула левых прямоугольников –

(2.41)

формула средних прямоугольников –

(2.42)

формула правых прямоугольников –

(2.43)

Остановимся подробнее на выводе фор­мулы средних прямоугольников. Обозначим через - середину отрезка

Рис. 2.53

Метод средних прямоугольников состоит в замене интеграла интегральной суммой следующего вида

Рассмотрим теперь более подробно вывод формулы трапеций. Суммируя приближённые площади всех элементарных криволинейных трапеций, полученных в результате дробления отрезка на равных частей, приходим к соотношению

Вынося множитель , заметим, что все слагаемые данной суммы, отличные от и , встречаются в ней дважды. Приводя подобные члены, окончательно получаем

,

(2.44)

где , , . Формула (2.44) носит название формулы трапеций.

Приведём ещё одну важную квадратурную формулу – формулу парабол, называемую также формулой Симпсона.

Идею формулы Симпсона поясним на примере. Предположим, что функция непрерывна на отрезке . Вычислим приближённое значение интеграла

при малых зпачениях . Выберем на кривой три точки: начальную среднюю и конечную . Заменим кривую параболой , проходящей через эти точки. Подставим координаты перечисленных точек в уравнение параболы и вычислим параметры :

Рис. 2.54

, ,

Находим площадь параболической трапеции:

.

Приближённая формула

(2.45)

носит название малой формулы Симпсона, или малой формулы парабол.

Для вычисления интеграла разобьём отрезок

на чётное число равных частей и применим к каждому интегралу формулу (2.45). В результате получим формулу

, (2.46)

где , , .

Формула (2.46) называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Замечание 2.8 Приведённые выше квадратурные формулы получены нами в предположении неотрицательности функции Нетрудно доказать, что эти формулы остаются справедливыми также и в общем случае.

Замечание 2.9. Без рассмотрения вопроса об оценке погрешности квадратурные формулы носят лишь качественный характер.

Приведём без доказательства оценки погрешностей приведённых выше квадратичных формул .

Формула средних прямоугольников
Формула трапеций
Формула Симпсона

Здесь – абсолютная погрешность квадратичных формул.

и – максимальные значения модулей второй и четвёртой производных подынтегральной функции на отрезке :

,

Пример 2.24.Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, по формуле трапеций, и по формуле Симпсона. Оценить погрешность вычислений при .

Решение.Поскольку число отрезков разбиения равно 10, то длина каждого такого отрезка равна

Таблица

k
		1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
		1.05	1.15	1.25	1.35	1.45	1.55	1.65	1.75	1.85	1.95

Подынтегральная функция . Используя квадратурные формулы, получаем следующие значения данного интеграла:

Поиск по сайту: