Пусть функция определена и интегрируема на произвольном отрезке , т.е. функция определена для произвольного .
Определение 2.4.Несобственным интеграломот функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е.
.
(2.32)
Если предел, стоящий в правой части равенства (2.32), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.
При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.
Пример 2.21.Вычислить .
Решение.По определению .
, ,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, используя формулу Ньютона – Лейбница, можно убедиться, что является сходящимся к , если , и расходящимся, если . Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным «порогом»: те кривые данного вида, которые на лежат ниже нее, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь (рис.2.45).
По аналогии с (2.32) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :
.
(2.33)
Рис. 2.45
Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше определению 2.4.
Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что
.
(2.34)
При этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (2.34), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. (Можно доказать, что введенное определение не зависит от выбора числа ).
Пример 2.22.Вычислить .
Решение.Исследуем на сходимость интегралы и . (В формуле () мы полагаем ).
,
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
,
т.е. расходится и, поэтому, расходится несобственный интеграл .
Определение 2.5. Интеграл называют интеграломЭйлера – Пуассона.
Справедливо соотношение
(2.35)
В теории вероятностей широко используется функция
, (2.36)
так называемый интеграл вероятности Гаусса.1)
Используя замену переменной и значение интегралаЭйлера – Пуассона, нетрудно убедиться в том, что
, (2.37)
Рис. 2.46.
______________________________________
1)Функция является неэлементарной первообразной функции
(см. п.2.11. Неберущиеся интегралы).
другими словами, площадь под кривой (получившей название кривой Гаусса) на интервале равна 1 (рис. 2.46).