Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования



 

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном отрезке , т.е. функция определена для произвольного .

Определение 2.4.Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е.

 

.   (2.32)

 

Если предел, стоящий в правой части равенства (2.32), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.

 

Пример 2.21.Вычислить .

 

Решение.По определению .

 

, ,

т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, используя формулу Ньютона – Лейбница, можно убедиться, что является сходящимся к , если , и расходящимся, если . Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным «порогом»: те кривые данного вида, которые на лежат ниже нее, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь (рис.2.45).

По аналогии с (2.32) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :

.   (2.33)

 

Рис. 2.45

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше определению 2.4.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что

 

.   (2.34)

 

При этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (2.34), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. (Можно доказать, что введенное определение не зависит от выбора числа ).

Пример 2.22.Вычислить .

Решение.Исследуем на сходимость интегралы и . (В формуле () мы полагаем ).

,

 

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

 

,

т.е. расходится и, поэтому, расходится несобственный интеграл .

Определение 2.5. Интеграл называют интеграломЭйлера – Пуассона.

Справедливо соотношение

 

(2.35)

В теории вероятностей широко используется функция

, (2.36)

так называемый интеграл вероятности Гаусса.1)

Используя замену переменной и значение интегралаЭйлера – Пуассона, нетрудно убедиться в том, что

, (2.37)

Рис. 2.46.

______________________________________

1)Функция является неэлементарной первообразной функции

(см. п.2.11. Неберущиеся интегралы).

 

другими словами, площадь под кривой (получившей название кривой Гаусса) на интервале равна 1 (рис. 2.46).

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.