Интегрирование неравенства

Если для непрерывных на отрезке функций и всюду на имеет место соотношение , то обе части этого неравенства можно интегрировать почленно, т.е.. выполнено соотношение

,

Пусть - дробление отрезка , оснащение дробления . Из неравенства следует аналогичное неравенство для интегральных сумм:

.

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим соответствующее неравенство для интегралов.

Итак,

Доказанное утверждение имеет простой геометрический смысл для функций, принимающих на отрезке только неотрицательные значения. Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции не превосходит площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции (рис.2.12).

Рис. 2.12

Оценки интегралов

Пусть функция непрерывна на отрезке ( ),и всюду на этом отрезке имеет место неравенство

где и – некоторые числа. Тогда

(2.11).

В силу п. 2.13 имеем

Используя далее свойство интеграла от постоянной функции (формулу (2.9)) нетрудно убедиться в справедливости соотношения (2.11).

Соотношение (2.11) имеет простой геометрический смысл ( рис.2.13):

значение определённого интеграла от неотрицательной на отрезке функции , т. е. величина площади фигуры ограниченной сверху графиком этой функции оценивается :

сверху – величиной площади прямоугольника с основанием и

высотой ;

снизу – величиной площади прямоугольника с основанием и

высотой

Рис.2.13

Из рисунка (2.13) видно, что оценка (2.11) может оказаться очень грубой. Она удовлетворительна только тогда, когда на большей части отрезка функция близка к или к .

Пример 2.4. Оценим интеграл от степенной функции.

Решение. Далее (п. 2.12) будет доказано, что

(2.12)

Интеграл вычисляет площадь криволинейного треугольника, ограниченного сверху графиком функции , вписанного в квадрат со стороной , равной единице (рис. 2.14).

Рис. 2.14.

В этом случае и оценка (2.11) принимает вид

(2.13)

Если – малое положительное число, то криволинейный треугольник «почти заполняет» квадрат и

,

т.е. верхняя оценка данного интеграла почти совпадает с его истинным значением. Однако с возрастанием показателя степени оценка (2.13) становится всё более грубой:

………. и т.д.

При правая часть в (2.12) уже вдвое больше левой, а при очень больших значениях площадь криволинейного треугольника составляет незначительную часть площади квадрата. Точный смысл этих рассуждений выражают равенства

, (2.14)

Ещё более грубой оценка (2.11) может оказаться в тех случаях, когда функция меняет знак на промежутке .

Пример 2.5.Оценить интегралы и

Решение. Поскольку на отрезке , а на отрезке получаем оценки

Полученные оценки являются грубыми (рис. 2.15). Далее будет показано, что ,

Рис. 2.15.

Пример 2.6. Оценить интеграл .

Решение. Нетрудно убедиться в том, что подынтегральная функция убывает на промежутке и поэтому в силу (2.11) имеем, что

Таким образом, мы выяснили, что значение данного интеграла заключено между числами 0.5 и 0.71. Отметим, что более точные приёмы показывают, что данный интеграл равен 0.62.

Теорема о среднем

Определение 2.2. Средним значением интегрируемой на отрезке функции называют величину

Теорема 2.2. (О среднем значении). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует такая точка , в которой функция принимает среднее на этом отрезке значение, т.е.

Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, (первая теорема Вейерштрасса) для произвольного значения из справедливо соотношение , где и – наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Тогда согласно (2.11) имеем

.

Положим

.

Итак, – некоторое число из промежутка . Но функция, непрерывная

на отрезке, принимает любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями (теорема о промежуточном значении). Поэтому, в частности, на отрезке найдётся такая точка , в которой значение функции равно . Отсюда следует формула (2.15).

Замечание 2.4. Пусть на . Тогда теорема о среднем утверждает: для непрерывной на отрезке функции найдётся такая точка из , что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами и (рис. 2.16).

Формулу (2.15) называют формулой среднего значения.

Рис. 2.16

2.17. Интеграл с переменным верхним пределом.

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема также на произвольном отрезке , вложенном в .

Определение 2.3.Функцию

называют интегралом с переменным верхним пределом.

	Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке . Тогда значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке (рис. 2.16). В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.

Рис. 2.17

Рассмотрим свойства интеграла с переменным верхним пределом

Теорема 2.3. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть таково, что .

По теореме о среднем найдётся такая точка , что и, следовательно,

Переходя в последнем равенстве к пределу при и используя

теоремы о пределах, получим

что и доказывает непрерывность функции

Теорема 2.4. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования, т.е.

. (2.17)

Доказательство. Воспользуемся равенством (2.16) из доказательства теоремы 2.3. Тогда

(2.18)

где – точка из отрезка . Переходя в последнем равенстве к пределу при и учитывая, что в силу непрерывности функции , приходим к (2.16).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию доказательства теоремы 2.4.

Пусть на . Приращение функции равно приращению площади под кривой при изменении абсциссы от до . По теореме о среднем на отрезке найдётся такая точка , что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами и т.е. и приходим к (2.18). При отрезок стягивается в точку, переходит в , а предел левой части равенства (2.18) равен

Поиск по сайту: