Определённый интеграл и объёмы тел вращения

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Необходимо найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , (рис. 2.35).

Рис. 2.35

Для решения задачи применим тот же подход, который был использован выше для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками: и на каждом из отрезков разбиения некоторым образом выберем точку , где . Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма

,

(2.28)

где ,

Геометрический смысл суммы (2.28) – объём тела, составленного из цилиндров с радиусами оснований , ,…., и высотами соответственно (рис.2.35). Очевидно, что приближение для искомого объема будет тем лучше, чем меньше длины отрезков разбиения . Поэтому за искомый объем естественно взять следующий предел

(2.29)

где - максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение, состоящее в правой части (2.29), не что иное, как предел интегральной суммы для функции , поэтому (см. определение 2.1 и формулу (2.6)) окончательно получаем

(2.30)

Примеры 2.16. На рисунках2.36 – 2.38изображены плоские геометрические фигуры: прямоугольник, треугольник и полукруг. В результате вращения этих фигур вокруг оси получаются объёмные фигуры -– цилиндр, конус и шар соответственно. Вычислим объёмы этих тел с помощью формулы (2. 30)

Рис. 2.36.

,

Напомним формулы стереометрии. – объём цилиндра ( – радиус основания, – высота цилиндра); – объём конуса ( – радиус основания, – высота конуса); – объём шара. Рис.2.37.

Рис. 2.38

Пример 2.17. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , вокруг оси .

Рис. 2.39

Решение.По формуле (2.30) искомый объем

.

Пример 2.18. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной осью и одной аркой синусоиды (рис. 2.40).

Рис. 2.40.

Решение. Поскольку функция является -периодической, для вычисления нужного объёма достаточно рассмотреть её на отрезке

Формально заменяя в формуле (2.30) переменную на получаем формулу для вычисления объёма тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат:

(2.31)

Рис. 2.41.

Пример 2.19. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: , , (рис. 2.39).

Рис.2.42.

Решение.Применяя формулу (2.31), получаем

Пример 2.20.Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Рис.2.43.

Решение.Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (рис.2.43), убеждаемся, что искомый равен разности двух объемов: объема , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями , , , и объема , для которого вращаемая фигура ограничена линиями , , . (С учетом предстоящего применения формулы (2.31) уравнения кривых записаны в виде , предполагающем переменную независимой). Применяя (2.31), получаем:

,

.

Окончательно .

Поиск по сайту: