Геометрический смысл определённого интеграла

Понятие определённого интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , численно равен площадипод кривой (рис. 2.1).

Действительно, при стремлении ранга дробления к нулю ломаная (рис. 2.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные формулы планиметрии для площадей плоских фигур.

Например,

и т.д.

Первый интеграл – площадь квадрата со стороной единичной длины (рис. 2.5.), второй – площадь прямоугольного треугольника с катетами единичной длины (рис. 2.6), третий – площадь четверти круга единичного радиуса (рис. 2.7).

Рис.2.5. Рис. 2.6. Рис. 2.7.

Замечание 2.2.Равенство согласовано с геометрическим смыслом определённого интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

Обозначение интеграла

Интеграл от функции по отрезку - это число, определённое функцией и отрезком , и ничем другим.

Символ содержит всё необходимое и достаточное для чёткого обозначения интеграла от функции по отрезку . Однако на практике при вычислении интегралов от конкретных функций вместо символа пишут символ . Буква в символе может быть заменена любой другой:

и т.д.

Важно только, чтобы в скобках после стояла та же буква, что и после буквы, играющей роль разделительного знака.

Символ в отличие от символа обладает некоторыми техническими преимуществами. Они проявляются тогда, когда функция определяется формулой, содержащей различные буквы. В этих случаях именно буквы, стоящие после буквы играют роль независимой переменной. Например, в обозначении без лишних слов указано, что подынтегральная функция есть функция от переменной : - квадратичная функция; - параметры (коэффициенты) этой функции.

«Помимо технической и логической этот выразительный символ несёт ещё и некоторую эмоциональную нагрузку. Знак - это стилизованная буква , первая буква латинского слова Summa. Символ - это своего рода воспоминание о неисчислимом множестве интегральных сумм которые, предшествуя появлению своего предела, участвовали в его создании» .

Поиск по сайту: