Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела явля­ется вращением с угловой скоростью вокруг оси аа', укрепленной на кривошипе bа (рис. 74, а), а переносное - вращением криво­шипа bа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.

1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение S тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 74, б). Следы осей в сечении S обозначим буквами А и В. Точка А, как лежащая на оси , получает скорость только от вращения вокруг оси Вb', следовательно, . Точно так же . При этом векторы и параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ)и направлены в разные стороны. Тогда точка С является мгновенным центром скоростей ( ), а следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и Вb', является мгновенной осью вращения тела.

а)		б)
Рис. 74. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей (вращения направлены в одну сторону)

Для определения угловой скорости ω абсолютного вращения тела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т.е. точки С, восполь­зуемся равенством

, откуда .

Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства , найдем окон­чательно:

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его резуль­тирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллель­ной данным; положение этой оси определяется пропорциями .

С течением времени мгновенная ось вращения Сс'меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим опять сечение S тела (рис. 75) и допустим для опре­деленности, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем слу­чае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны , ; при этом и параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 75), причем

, откуда .

Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения и , найдем окончательно:

,

.

Итак, в этом случае результирующее движение также явля­ется мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси Сс', положение которой определяется пропор­циями .

3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 76), но по модулю . Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и , образуют пару угловых скоростей.

Рис. 75. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей (вращения направлены в разные стороны)	Рис. 76. Пара вращений

В этом случае получаем что и ,т.е. . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движениемсо скоростью численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и ; направление вектора определяется также, как в статике определялось направление момен­та пары сил. Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих враще­ний.

Поиск по сайту: