Спектральная плотность модулированного сигнала представляет два спектра модулирующей функции, построенных относительно частот w = w0и w = -w0 (сдвинутых на частоты несущей).
Пример.Спектр однотональной модуляции
.
Результат можно получить непосредственно:
.
Второе слагаемое может быть сведено к виду
- это соответствует новым гармоническим колебаниям с частотами w0 + Wи w0 - W, соответствующими верхней и нижней боковым частотам модуляции.
Спектр радиосигнала при угловой модуляции
. При фазовой модуляции , при
частотной . Преобразуем косинус суммы:,
.
и - медленно изменяющиеся амплитуды.
Итак, модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух амплитудно-модулированных колебаний (квадрупольных). Для определения спектра каждого из них достаточно сдвинуть на w0 спектр огибающих амплитуд, т. к. cosq(t) и sinq(t) являются нелинейными функциями своего аргумента q(t), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра модулирующей функции s(t) и при однотональной модуляции возможно возникновение кратных и комбинированных частот. Однако при малых индексах модуляции можно положить, тогда
т. е. Спектр, как и в случае амплитудной модуляции, состоит из несущей и двух боковых частей (но сдвинутых по фазе).
При больших индексах модуляции за счет появления новых гармоник спектр расширяется и ширина спектра равна 2mW вместо 2W при m << 1.
При m >1 cos(mcosWt) и sin(mcosWt) разлагают в ряд по Бесселевым функциям.
Автокорреляционная функция
Амплитудно-модулированного сигнала
(постоянная фаза не влияет на функцию корреляции).
,
Во втором интеграле стоит произведение медленно меняющейся функции A(t)A(t-t) и сильноосцилирующего члена с частотой 2w0.. Вследствие этого второй интеграл существенно меньше первого и им можно пренебречь. Итак, АКФ амплитудно-модулированного сигнала равна произведению и АКФ моделирующей функции. Полная энергия сигнала за счет усреднения по высокочастотному колебанию. При бесконечной энергии сигнала выполняется аналогичное соотношение между корреляционными функциями, соответствующими мощности модулирующего и амплитудно-модулированного сигнала.