Кривой второго порядканазывается линия на плоскости, описываемая уравнением второй степени относительно переменных x и y, т.е.
, (2.4.1)
где - некоторые константы.
В зависимости от значений коэффициентов графиками кривых второго порядка являются окружности, эллипсы, гиперболы и параболы.
Каноническое уравнение окружностис центром в точке и радиусом R, имеет вид
(2.4.2)
Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости окружность и может быть представлено в виде (2.4.2).
Характеристическое свойство окружности: все точки окружности удалены от одной, называемой центром, на одно и то же расстояние, равное радиусу R.
Пример 2.4.1. Найти координаты центра и радиус окружности
Решение: выделим в уравнении полные квадраты при переменных
- получили уравнение вида (2.4.2). Следовательно, координаты центра окружности , а радиус Δ
Каноническое уравнение эллипсаимеет вид
(2.4.3)
Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости эллипс и может быть представлено в виде (2.4.3). Числа и называются, соответственно, большой и малой полуосями эллипса. Точки и , где , называются фокусами эллипса. Точки называются вершинами эллипса.
Характеристическое свойство эллипса: для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2а.
Пример 2.4.2. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус и нижнюю вершину эллипса .
Решение: представим уравнение в виде (2.4.3)
Следовательно, - параметры эллипса, точка - правый фокус, а - нижняя вершина эллипса.
Рис. 7. Эллипс и прямая
Искомая прямая проходит через точки и , поэтому ее уравнение можно найти по формуле (2.1.3)
.
Таким образом, прямая, проходящая через правый фокус и нижнюю вершину эллипса имеет уравнение Δ .
Каноническое уравнение гиперболыимеет вид
(2.4.4)
Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости гиперболу и может быть представлено в виде (2.4.4). Числа и называются, соответственно, действительной и мнимой полуосями гиперболы. Точки и , где , называются фокусами гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.
Характеристическое свойство гиперболы: для любой точки гиперболы разность расстояний этой точки до фокусов по абсолютной величине есть величина постоянная, равная 2а.
Гипербола с уравнением или называется сопряженной к гиперболе с уравнением (2.4.4), имеет тот же осевой прямоугольник и асимптоты, но пересекает ось OY в точках и фокусы лежат на оси OY.
Пример 2.4.3. Построить гиперболу и найти расстояние от вершин гиперболы до асимптот.
Решение:
преобразуем уравнение к каноническому виду (2.4.4)
Следовательно, . Построим осевой прямоугольник гиперболы – прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями . Вершины гиперболы – точки . Фокусы гиперболы - . Диагонали прямоугольника – прямые - асимптоты гиперболы.
Рис. 8. Гипербола
Так как гипербола симметрична относительно осей OX и OY, то все расстояния от вершин до асимптот совпадают между собой и равны по формуле (2.1.11) расстоянию от точки до прямой (или - уравнение одной из асимптот гиперболы)
(ед.) Δ
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси OX, имеет вид
(2.4.5)
Число называется параметром параболы, вершиной является начало координат, фокус находится в точке , директриса параболы имеет уравнение . Любое уравнение вида (2.4.1) со значениями коэффициентов определяет на плоскости параболу и может быть представлено в виде (2.4.5).
Характеристическое свойство параболы: для любой точки параболы расстояния от этой точки до фокуса и до директрисы равны между собой.
Рис. 9.Парабола
Уравнение вида
(2.4.6)
описывает параболу, симметричную относительно оси OY.
Пример 2.4.4. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку , OX – ось симметрии.
Решение: если парабола симметрична относительно оси OX и ее вершина - в начале координат, то каноническим уравнением является уравнение вида (2.4.5)
Так как точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Значит,
-
параметр параболы.
Каноническое уравнение параболы
Δ
Задача 1. Определить соответствие между кривыми и уравнениями линий:
1) гипербола
2) эллипс
3) окружность
4) прямая
5) парабола
Задача 2. Определить соответствие уравнений парабол и координат их вершин:
Задача 3. Построить эллипс с уравнением и прямую, проходящую через верхнюю вершину и левый фокус эллипса.
Задача 4. Построить гиперболу, одним из фокусов которой является точка с координатами (24;0), а уравнение одной из асимптот . Найти расстояние от фокусов гиперболы до асимптот.
Задача 5. Построить параболу с уравнением
Найти координаты вершины, фокуса, уравнение директрисы.