Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений



Алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы размерности называется произведение числа и определителя, полученного из определителя матрицы путем вычеркивания строки с номером и столбца с номером .

 

Пример 1.4.1. Найти алгебраическое дополнение матрицы

 

 

Решение: матрица А имеет размерность 4×4, ее элемент . Найдем алгебраическое дополнение по определению, умножая на число определитель, полученный из определителя матрицы А путем вычеркивания 2-ой строки и 3-его столбца, т.е.

Δ

 

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Любая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу , которая находится по формуле

(1.4.1)

Обратная матрица обладает следующим свойством , которое служит для проверки правильности вычисления обратной матрицы (здесь Е – единичная матрица).

 

Пример 1.4.2. Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку

 

Решение: найдем определитель матрицы А

.

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то матрица А является невырожденной, у нее существует обратная матрица . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы

 

 

Тогда обратная матрица согласно формуле (1.4.1) имеет вид

 

Обратная матрица найдена, сделаем проверку (произведение матриц описано в параграфе 1.1).


Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: Δ

С помощью обратной матрицы возможно решение систем линейных уравнений. Рассмотрим систему n линейных уравнений c n переменными общего вида

(1.4.2)


Обозначим матрицы

Тогда систему линейных уравнений (1.4.2) можно записать в виде матричного уравнения

. (1.4.3)

Решение полученного уравнения можно найти, умножив обе части уравнения слева на

Используя свойство обратной матрицы, получим

или - решение матричного уравнения (1.4.3).

Такой метод решения систем линейных уравнений получил название матричного методаили метода матричного исчисления. Кроме уравнения (1.4.3) существуют другие матричные уравнения:

(1.4.4)

и . (1.4.5)

Для решения уравнения (1.4.4) следует умножить уравнение справа на матрицу :

-

решение матричного уравнения (1.4.4).

Пример 1.4.3. Решить систему линейных уравнений матричным методом

Решение: обозначим матрицы

Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде , а ее решение по матричному методу находится в виде . Для определения обратной матрицы вычислим определитель матрицы А и алгебраические дополнения ко всем ее элементам

 

 

 


По формуле (1.4.1) получим обратную матрицу

 

 

и решение матричного уравнения

или

Ответ: (2,-3,1) □

 

Задача 1. Найти обратную матрицу и сделать проверку:

Задача 2. Решить систему линейных уравнений матричным методом


Задача 3. Решить матричное уравнение

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.