Алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы размерности называется произведение числа и определителя, полученного из определителя матрицы путем вычеркивания строки с номером и столбца с номером .
Пример 1.4.1. Найти алгебраическое дополнение матрицы
Решение: матрица А имеет размерность 4×4, ее элемент . Найдем алгебраическое дополнение по определению, умножая на число определитель, полученный из определителя матрицы А путем вычеркивания 2-ой строки и 3-его столбца, т.е.
Δ
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Любая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу , которая находится по формуле
(1.4.1)
Обратная матрица обладает следующим свойством , которое служит для проверки правильности вычисления обратной матрицы (здесь Е – единичная матрица).
Пример 1.4.2. Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку
Решение: найдем определитель матрицы А
.
Так как определитель матрицы отличен от нуля, то матрица А является невырожденной, у нее существует обратная матрица . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы
Тогда обратная матрица согласно формуле (1.4.1) имеет вид
С помощью обратной матрицы возможно решение систем линейных уравнений. Рассмотрим систему n линейных уравнений c n переменными общего вида
(1.4.2)
Обозначим матрицы
Тогда систему линейных уравнений (1.4.2) можно записать в виде матричного уравнения
. (1.4.3)
Решение полученного уравнения можно найти, умножив обе части уравнения слева на
Используя свойство обратной матрицы, получим
или - решение матричного уравнения (1.4.3).
Такой метод решения систем линейных уравнений получил название матричного методаили метода матричного исчисления. Кроме уравнения (1.4.3) существуют другие матричные уравнения:
(1.4.4)
и . (1.4.5)
Для решения уравнения (1.4.4) следует умножить уравнение справа на матрицу :
-
решение матричного уравнения (1.4.4).
Пример 1.4.3. Решить систему линейных уравнений матричным методом
Решение: обозначим матрицы
Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде , а ее решение по матричному методу находится в виде . Для определения обратной матрицы вычислим определитель матрицы А и алгебраические дополнения ко всем ее элементам
По формуле (1.4.1) получим обратную матрицу
и решение матричного уравнения
или
Ответ: (2,-3,1) □
Задача 1. Найти обратную матрицу и сделать проверку:
Задача 2. Решить систему линейных уравнений матричным методом