Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку



Лінійне неоднорідне д. р. ІІ-го порядку має вигляд

, (1)

де f(x) – відома неперервна на деякому інтервалі функція (вільний член). Розглянемо окремий випадок, коли p і q – сталі. Нехай відповідне однорідне рівняння

(2)

має загальний розв’язок , який знаходиться за однією з формул (3) - (5) попереднього параграфа. Нехай, далі, - деякий частинний розв’язок ЛНДР (1). В подальшому будемо опиратись на таку теорему (подаємо без доведення).

Теорема(про структуру загального розв’язку ЛНДР). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного д. р. (1) ( ) дорівнює сумі загального розв’язку ( ) відповідного однорідного д. р. (2) і частинного розв’язку ( ) початкового неоднорідного д. р. (1), тобто

, (3)

Далі зупинимось на двох випадках розв’язання ЛНДР, коли вільний член має спеціальний вигляд:

1) , де - заданий многочлен, - відоме число;

2) , де - задані.

12. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом .

Нехай задано ЛНДР

, (1)

де - відомі числа, - многочлен порядку (степеня) , коефіцієнти, якого теж відомі. Загальний розв’язок ЛНДР (1) будемо знаходити у відповідності з теоремою про структуру:

.

Нам вже відомо, що загальний розв’язок однорідного д. р. записується однією з формул

, (2)

якщо - дійсні;

, (3)

якщо - дійсні і рівні;

(4)

якщо - комплексні.

Відповідно вільному члену частинний розв’язок ЛНДР (1) знаходиться у вигляді

, (5)

де

(6)

- многочлен степеня (степінь такий же, як у многочлена , що в правій частині (1) ). Невідомі А,В,…,N знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів, який пояснимо на прикладі.

Запишемо ще декілька виразів для в залежності від порядка n. Так якщо

(7)

Розглянемо тепер кілька прикладів на складання - частинного розв’язку.

Приклади. Записати - частинний розв’язок для поданих д. р.

1. 4.
2. 5.
3. 6.

 

Розв’язання.

1. Знаходимо корені характеристичного рівняння . . З правої частини знаходимо степінь многочлена , коефіцієнт при в показнику степеня . Поскільки і , то за формулою (6) .Отже, за формулою(4)

.

. З правої частини д. р. , тому . Поскільки , то і , тому за формулою (6) . Отже,

 

.

3. . З правої частини маємо , тоді , і , тому . Отже,

.

4. , , , і , тому , тоді

.

5. , , , і , тому . Отже,

.

6. , . , , тому

.

Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.

. (8)

Розв’язання. Виконаємо за таким алгоритмом.

1. Знаходимо загальний розв’язок однорідного д. р.

 

,

- дійсні і різні.

Відповідно формулі (2) маємо

.

2. Складаємо - частинний розв’язок. З правої частини ЛНДР

(8) маємо , , - співпадає з . Отже,

.

3. Знаходимо ,

4. Підставимо , , в початкове д. р. (8) , при цьому обидві частини скоротимо на , отримаємо

.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

.

Отже, .

-

шуканий загальний розв’язок.

Розв’язати самостійно

1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7. 14.

13. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом

Розглянемо ЛНДР

(1)

(2)

- відповідне однорідне рівняння,

- його характеристичне рівняння з коренями і . Нехай - загальний розв’язок ЛОДР (2). Частинний розв’язок знаходиться

у вигляді

(3)

де А і В – невідомі коефіцієнти, число , якщо корені характеристичного рівняння не дорівнюють числу . Якщо ж один з коренів дорівнює , то .

Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.

. (4)

Розв’язання.

1. Знаходимо загальний розв’язок д. р.

,

.

.

2. З правої частини (4) знаходимо , число співпадає з одним з коренів характеристичного рівняння, тому . Отже,

.

3. Знаходимо ,

.

4. Підставимо і в д. р. (4)

.

Прирівняємо коефіцієнти при і

.

Тоді маємо

,

а загальний розв’язок запишеться

.

Розв’язати самостійно

1. . 7. .
2. . 8.
3. . 9. .
4. . 10. .
5. .
6. .

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.