Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Д. р. першого порядку в неявній формі має вигляд



Загальні поняття

Означення. Рівняння, що містить аргумент, невідому функцію та її похідні або диференціали, називається диференціальним рівнянням (д. р.).

В загальному вигляді д. р. може бути записане у формі

, (1)

яку ще називають неявною формою.

Означення. Найвищий порядок похідної або диференціала, що входить в д. р., називають порядкомцього диференціального рівняння.

Наприклад,

- д. р. першого порядку,

- д. р. другого порядку,

- д. р. третього порядку.

Якщо ж д. р. (1) можна розв’язати відносно старшої похідної, то отримаємо явну форму д. р.

(2)

 

Означення. Функція , яка має на деякому інтервалі похідні , і яка після підстановки разом з похідними до д. р. (1) або (2) перетворює його в тотожність називається розв’язком д. р. При цьому ще говорять, що функція задовольняє даному д.р.

Приклади

1. - це д. р. першого порядку. Його розв’язок можна знайти шляхом інтегрування

Цей розв’язок містить довільну сталу С. Надаючи сталій С різних значень, ми отримаємо сім’ю кривих (парабол, див рис. 3.1).

 
 

 

2. Розв’язком д. р. є функція .

Дійсно, знайдемо спочатку першу похідну , а тоді другу - . Підставимо в д. р. вирази і , отримаємо тотожність .

3. Розв’язком д. р. є також функція

,

де і довільні сталі величини.

Перевіримо. Знайдемо , . Підставимо і в д. р., отримуємо тотожність

.

4. По аналогії з прикладом 1 знайдемо розв’язок д. р.

.

Після інтегрування маємо

,

Після повторного інтегрування знаходимо

.

Задачу про знаходження розв’язку д. р. називають задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Графік розв’язку д. р. називається інтегральною кривою.

З наведених прикладів бачимо, що розв’язок д. р. знаходиться неоднозначно, геометрично розв’язок д. р. може задавати сім’ю кривих на площині , як це видно з прикладу 1, де розв’язок залежить від однієї сталої величини С, це для д. р. першого порядку. З прикладів 3 і 4 бачимо, що розв’язки д. р. другого порядку можуть мати дві довільні сталі .

 

Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема про існування та єдиність розв’язку д. р. Задача Коші

Д. р. першого порядку в неявній формі має вигляд

. (1)

Якщо ж із співвідношення (1) можна виразити , то отримаємо д. р. першого порядку в явній формі

. (2)

Важливою в теорії д. р. є така теорема.

Теорема. ( про існування та єдиність розв’язку д. р.). Якщо в д. р. функція та її частинна похідна неперервні в області D, яка містить точку , то існує єдиний розв’язок д. р. , який задовольняє умову для довільної точки .

Означення. Умова , якій задовольняє розв’язок д. р. , називають початковою умовою.

Задача знаходження розв’язку д. р. , який задовольняє початкову умову , носить назву задачі Коші.

Приклад. Розв’язати задачу Коші для д. р. при початковій умові .

Розв’язання. Шляхом інтегрування знаходимо так званий загальний розв’язок , який описує сім’ю парабол. Згідно початкової умови маємо

.

Отже розв’язком задачі є функція - це одна із сім’ї парабол, що проходить через точку М0 (1,-1). Отриманий розв’язок називається частинним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка залежить від сталої С і задовольняє умові:

1) для довільного значення сталої С функція є розв’язком диференціального рівняння;

2) для довільних початкових умов існує таке значення С0, що .

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який дістають із загального при заданій початковій умові.

Тепер можна геометрично пояснити зміст теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння: через кожну точку області проходить одна і тільки одна інтегральна крива (див. рис. 3.2).

 
 

 

Розглянемо диференціальне рівняння , обчислимо значення в точці , отримаємо . За геометричним змістом значення похідної в точці М0 співпадає з кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої ( , де - кут нахилу дотичної до осі ОХ). Отже, обчислюючи значення похідної в кожній точці області D, отримаємо поле напрямків.

Розв’язати диференціальне рівняння - це означає знайти сім’ю кривих, що відповідають заданому полю напрямків.

Далі перейдемо до вивчення простіших диференціальних рівнянь першого порядку. До них відносяться:

1) диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними;

2) однорідні відносно змінних диференціального рівняння;

3) лінійні диференціальні рівняння.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.