Д. р. першого порядку в неявній формі має вигляд

Загальні поняття

Означення. Рівняння, що містить аргумент, невідому функцію та її похідні або диференціали, називається диференціальним рівнянням (д. р.).

В загальному вигляді д. р. може бути записане у формі

, (1)

яку ще називають неявною формою.

Означення. Найвищий порядок похідної або диференціала, що входить в д. р., називають порядкомцього диференціального рівняння.

Наприклад,

- д. р. першого порядку,

- д. р. другого порядку,

- д. р. третього порядку.

Якщо ж д. р. (1) можна розв’язати відносно старшої похідної, то отримаємо явну форму д. р.

(2)

Означення. Функція , яка має на деякому інтервалі похідні , і яка після підстановки разом з похідними до д. р. (1) або (2) перетворює його в тотожність називається розв’язком д. р. При цьому ще говорять, що функція задовольняє даному д.р.

Приклади

1. - це д. р. першого порядку. Його розв’язок можна знайти шляхом інтегрування

Цей розв’язок містить довільну сталу С. Надаючи сталій С різних значень, ми отримаємо сім’ю кривих (парабол, див рис. 3.1).

2. Розв’язком д. р. є функція .

Дійсно, знайдемо спочатку першу похідну , а тоді другу - . Підставимо в д. р. вирази і , отримаємо тотожність .

3. Розв’язком д. р. є також функція

,

де і довільні сталі величини.

Перевіримо. Знайдемо , . Підставимо і в д. р., отримуємо тотожність

.

4. По аналогії з прикладом 1 знайдемо розв’язок д. р.

.

Після інтегрування маємо

,

Після повторного інтегрування знаходимо

.

Задачу про знаходження розв’язку д. р. називають задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Графік розв’язку д. р. називається інтегральною кривою.

З наведених прикладів бачимо, що розв’язок д. р. знаходиться неоднозначно, геометрично розв’язок д. р. може задавати сім’ю кривих на площині , як це видно з прикладу 1, де розв’язок залежить від однієї сталої величини С, це для д. р. першого порядку. З прикладів 3 і 4 бачимо, що розв’язки д. р. другого порядку можуть мати дві довільні сталі .

Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема про існування та єдиність розв’язку д. р. Задача Коші

Д. р. першого порядку в неявній формі має вигляд

. (1)

Якщо ж із співвідношення (1) можна виразити , то отримаємо д. р. першого порядку в явній формі

. (2)

Важливою в теорії д. р. є така теорема.

Теорема. ( про існування та єдиність розв’язку д. р.). Якщо в д. р. функція та її частинна похідна неперервні в області D, яка містить точку , то існує єдиний розв’язок д. р. , який задовольняє умову для довільної точки .

Означення. Умова , якій задовольняє розв’язок д. р. , називають початковою умовою.

Задача знаходження розв’язку д. р. , який задовольняє початкову умову , носить назву задачі Коші.

Приклад. Розв’язати задачу Коші для д. р. при початковій умові .

Розв’язання. Шляхом інтегрування знаходимо так званий загальний розв’язок , який описує сім’ю парабол. Згідно початкової умови маємо

.

Отже розв’язком задачі є функція - це одна із сім’ї парабол, що проходить через точку М₀ (1,-1). Отриманий розв’язок називається частинним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка залежить від сталої С і задовольняє умові:

1) для довільного значення сталої С функція є розв’язком диференціального рівняння;

2) для довільних початкових умов існує таке значення С₀, що .

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який дістають із загального при заданій початковій умові.

Тепер можна геометрично пояснити зміст теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння: через кожну точку області проходить одна і тільки одна інтегральна крива (див. рис. 3.2).

Розглянемо диференціальне рівняння , обчислимо значення в точці , отримаємо . За геометричним змістом значення похідної в точці М₀ співпадає з кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої ( , де - кут нахилу дотичної до осі ОХ). Отже, обчислюючи значення похідної в кожній точці області D, отримаємо поле напрямків.

Розв’язати диференціальне рівняння - це означає знайти сім’ю кривих, що відповідають заданому полю напрямків.

Далі перейдемо до вивчення простіших диференціальних рівнянь першого порядку. До них відносяться:

1) диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними;

2) однорідні відносно змінних диференціального рівняння;

3) лінійні диференціальні рівняння.

Поиск по сайту: