Представление информации в формате чисел с плавающей запятой

Любое вещественное число N можно представить в виде

,

где m – мантисса числа, p – порядок, q – основание.

Мантисса и порядок могут иметь знаки. Знак мантиссы соответствует знаку числа. Основание q может не совпадать с основанием системы счисления.

В машинном представлении формат числа с плавающей запятой задается двумя полями – полем мантиссы и полем порядка. Значение основания не указывается, но подразумевается одинаковым для всех чисел. Мантисса и порядок представляются в формате с фиксированной запятой, обычно порядок – целое число со знаком, а мантисса – правильная дробь. С целью увеличения точности представления числа в заданном формате мантиссу представляют в нормализованной форме, когда старший разряд модуля мантиссы не равен нулю.

0 1 k 0 1 s

Существуют другие форматы представления чисел с плавающей запятой. Стандарт IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) предусматривает числа с одинарной и двойной точностью.

Форматы представлены тремя полями:

s – знак числа;

e – характеристика;

m – мантисса.

Формат с одинарной точностью занимает 32-разрядное слово, s размещается в старшем разряде, e – в следующих 8 разрядах и m – в оставшихся 23-х. Порядок p, под который отводится один байт, может принимать значения в диапазоне ±127. Характеристика в стандарте IEEE получается как порядок с избытком 127, т.е. e=p+127>0.

Мантисса числа в стандарте IEEE нормализована и лежит в диапазоне 1≤m<2. Целая часть мантиссы всегда равна 1, поэтому значение целой части не хранится, а подразумевается. Дробная часть мантиссы хранится в 23 младших разрядах мантиссы.

Формат с двойной точностью отличается длиной полей:

― для характеристики – 11 битов с избытком 1023;

― для мантиссы – 52 бита;

и размещается в 64-разрядном двоичном слове.

Вернемся к стандартному представлению чисел с плавающей запятой.

Нормализованная форма представления чисел - форма представления чисел, для которой справедливо условие

q^-1≤ |m|<1. (1)

Всякий результат, не удовлетворяющий этому условию, должен быть приведен в соответствие с этой формулой. Такую операцию называют нормализацией числа. Операция нормализации числа состоит из проверки выполнимости условия (1) и сдвига изображения мантиссы в ту или иную сторону. При этом увеличивается или уменьшается порядок числа.

Пример 33. Представить в виде числа с плавающей запятой следующее число A=-10110,1111₍₂₎, при условии, что на мантиссу выделено 10 разрядов с учетом знакового, а на порядок – шесть с учетом знакового.

Проведем нормализацию числа. Так как мантисса больше единицы, будем сдвигать ее вправо (т.е. уменьшать) до тех пор, пока не получим мантиссу, удовлетворяющую (1). При этом порядок будет увеличиваться.

A=-10110,1111=-1011,01111 ∙ 2¹=-101,101111 ∙ 2²=-10,1101111 ∙ 2³= = -1,01101111 ∙ 2⁴=-0,101101111 ∙ 2⁵.

Т.е. [m_A]=1,101101111, [p_A]=0 00101.

Пример 34. Представить в виде числа с плавающей запятой следующее число A=+0,000110010111₍₂₎, при условии, что на мантиссу выделено 10 разрядов с учетом знакового, а на порядок – шесть с учетом знакового.

Проведем нормализацию числа. Так как мантисса в старших разрядах содержит 3 нуля, то сдвинем ее влево на 3 разряда. При этом порядок уменьшится на 3 единицы.

A=+0,000110010111=+0,00110010111 ∙ 2^-1=+0,0110010111∙ 2^-2=

=+0,110010111 ∙ 2^-3.

Т.е. [m_A]=0,110010111, [p_A]=1 00011.

Задания.

Представить следующие числа в виде с плавающей запятой.

1) A=-101,0011₍₂₎ (для мантиссы имеется 10 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 6 двоичных разрядов со знаком)

2) A=11,10000₍₂₎ (для мантиссы имеется 8 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 3 двоичных разрядов со знаком)

3) A=-10111,001₍₂₎ (для мантиссы имеется 10 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 6 двоичных разрядов со знаком)

4) A=111101,1001₍₂₎ (для мантиссы имеется 6 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 4 двоичных разрядов со знаком)

5) A=-0,00000111₍₂₎ (для мантиссы имеется 10 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 6 двоичных разрядов со знаком)

6) A=0,0010101111₍₂₎ (для мантиссы имеется 10 двоичных разрядов со знаком и для порядка – 6 двоичных разрядов со знаком)

Поиск по сайту: