Метод вычитания степеней

Система счисления

Любое число имеет значение и форму представления.

Значение числа задает его отношение к значениям других чисел и порядок расположения чисел на числовой оси. Форма представления определяет порядок записи числа с помощью предназначенных для этого знаков. Способ представления определяется системой счисления.

Существует 3 группы различных способов записи числа:

― Унарная система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак - |. То есть число «два» записывается как | |, а число «пять» - как | | | | |.

― Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением в ряду других цифр. Наиболее распространенная система – десятичная. Количество цифр в системе счисления для построения чисел равно основанию системы счисления. Максимальная цифра на один меньше основания.

― Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа не зависит от ее положения в ряду других цифр. Наиболее распространенная из непозиционных систем – римская.

Пусть p – основание системы счисления. Тогда число Z, не превосходящее 2^k может быть представлено в виде многочлена со степенями

Z_p=a_k-1p^k-1 + a_k-2 p^k-2 + …+ a₁p¹ + a₀p⁰

Из a_j строится сокращенная запись числа Z_p=(a_k-1a_k-2…a₁a₀).

Минимальное значение p равно 2 (двоичная система счисления, которая имеет цифры 0 и 1, а форма записи каждого числа строится по степеням двойки).

1.2 Перевод целых чисел Z_p→Z_q

Метод деления

В общем случае, чтобы перевести целое число из десятичной системы в систему с основанием p, необходимо разделить его на p. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на p – остаток даст следующий разряд числа и т.д. То есть для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления и продолжать делить полученные частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое число в системе счисления p.

Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную (25₍₁₀₎à?₍₂₎ ).

25/2=12 (остаток 1),

12/2=6 (остаток 0),

6/2=3 (остаток 0),

3/2=1 (остаток 1),

1/2=0 (остаток 1).

Таким образом, 25₍₁₀₎=11001₍₂₎.

Пример 2. Перевести число 89 из десятичной системы в троичную (89₍₁₀₎à?₍₃₎ ).

89/3=29 (остаток 2),

29/3=9 (остаток 2),

9/3=3 (остаток 0),

3/3=1 (остаток 0),

1/3=0 (остаток 1).

Таким образом, 89₍₁₀₎=10022₍₃₎.

Пример 3. Перевести число 576 из десятичной системы в шестнадцатеричную (572₍₁₀₎à?₍₁₆₎ ).

572/16=35 (остаток 12, которому соответствует в шестнадцатеричной системе цифра С),

35/16=2 (остаток 3),

2/3=0 (остаток 2),

Таким образом, 89₍₁₀₎=23С₍₁₆₎.

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления:

1) 37₍₁₀₎à?₍₂₎ 7) 123₍₁₀₎à?₍₅₎

2) 612₍₁₀₎à?₍₈₎ 8) 75₍₁₀₎à?₍₂₎

3) 44₍₁₀₎à?₍₂₎ 9) 105₍₁₀₎à?₍₂₎

4) 30₍₁₀₎à?₍₃₎ 10) 87₍₁₀₎à?₍₂₎

5) 50₍₁₀₎à?₍₂₎ 11) 38₍₁₀₎à?₍₂₎

6) 137₍₁₀₎à?₍₄₎ 12) 54₍₁₀₎à?₍₂₎

Метод вычитания степеней

В случае использования метода вычитания степеней последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основания, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе.

Пример 4. Перевести число 114 из десятичной системы в двоичную (114₍₁₀₎à?_{(2), (8)} ) методом вычитания степеней.

Переведем сначала число в двоичную систему:

114 - 1∙8² = 114 – 64 = 50,

50 - 6∙8¹ = 50 – 48 = 2,

2 – 2∙8⁰ = 2 – 2 = 0.

Т.е. a₂ = 1, a₁ =6, a₀ = 2 (индексы равны степеням двойки, цифры - коэффициентам). Таким образом, 114₍₁₀₎=162₍₈₎.

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления при помощи метода вычитания степеней:

1) 37₍₁₀₎à?₍₂₎ 8) 123₍₁₀₎à?₍₅₎

2) 612₍₁₀₎à?₍₈₎ 9) 75₍₁₀₎à?₍₂₎

3) 89₍₁₀₎à?₍₃₎ 10) 105₍₁₀₎à?₍₂₎

4) 30₍₁₀₎à?₍₃₎ 11) 87₍₁₀₎à?₍₂₎

5) 50₍₁₀₎à?₍₂₎ 12) 38₍₁₀₎à?₍₂₎

6) 137₍₁₀₎à?₍₄₎ 13) 54₍₁₀₎à?₍₂₎

7) 44₍₁₀₎à?₍₂₎

1.2.2 Перевод дробных чисел из 10-й системы в систему с основанием q

Пример 5. Перевести число 0,875 из десятичной системы счисления в двоичную (0,875₍₁₀₎à?₍₂₎)

0,875∙2=1,75 (целая часть 1),

0,75∙2=1,5 (целая часть 1),

0,5∙2=1,0 (целая часть 1),

Так как дробная часть равна 0, то мы останавливаемся. Выписываем полученные цифры, приписав перед ними 0 с разделителем (в данном случае, запятая).

Таким образом, 0,875₍₁₀₎à0,111_(2).

Пример 6. Перевести число 0,73 из десятичной системы счисления в двоичную (0,73₍₁₀₎à?₍₂₎)

0,73∙2=1,46 (целая часть 1),

0,46∙2=0,92 (целая часть 0),

0,92∙2=1,84, (целая часть 1),

0,84∙2=1,68, (целая часть 1) и т.д.

Выписав полученные цифры, получим 0,73₍₁₀₎à0,1011_(2).

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления:

1) 0,375₍₁₀₎à?₍₂₎

2) 0,6752₍₁₀₎à?₍₂₎ до 4-х знаков после запятой

3) 0,119₍₁₀₎à?₍₂₎ до 6-и знаков после запятой

4) 0,2647₍₁₀₎à?₍₂₎ до 5-и знаков после запятой

5) 0,4725₍₁₀₎à?₍₂₎ до 5-и знаков после запятой

6) 0,842₍₁₀₎à?₍₂₎ до 6-и знаков после запятой

7) 0,231₍₁₀₎à?₍₂₎ до 5-х знаков после запятой

1.2.3 Перевод чисел системы с основанием q в десятичную систему счисления

Для перевода числа A_p=(a_k-1a_k-2…a₁a₀,a_-1a_-2…) в десятичную систему можно использовать саму формулу представления числа

A₁₀=a_k-1p^k-1 + a_k-2 p^k-2 + …+ a₁ p¹ + a₀ p⁰+a_-1p^-1+a_-2p^-2+…

Пример 7. Перевести число 112 из троичной системы счисления в десятичную.

A₁₀=1∙3²+1∙3¹+2∙3⁰=9+3+2=14.

Пример 8. Перевести число 0,1011 из двоичной системы счисления в десятичную.

A₁₀=1∙2^-1+0∙2^-2+1∙2^-3+1∙2^-4=0,5+0,125+0,0625=0,6875

Пример 9. Перевести число 1101,011 из двоичной системы счисления в десятичную.

A₁₀=1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2+1∙2^-3=8+4+0+1+0+0,25+0,125=13,375

Поиск по сайту: