Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод вычитания степеней



Система счисления

Любое число имеет значение и форму представления.

Значение числа задает его отношение к значениям других чисел и порядок расположения чисел на числовой оси. Форма представления определяет порядок записи числа с помощью предназначенных для этого знаков. Способ представления определяется системой счисления.

Существует 3 группы различных способов записи числа:

Унарная система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак - |. То есть число «два» записывается как | |, а число «пять» - как | | | | |.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением в ряду других цифр. Наиболее распространенная система – десятичная. Количество цифр в системе счисления для построения чисел равно основанию системы счисления. Максимальная цифра на один меньше основания.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа не зависит от ее положения в ряду других цифр. Наиболее распространенная из непозиционных систем – римская.

Пусть p – основание системы счисления. Тогда число Z, не превосходящее 2k может быть представлено в виде многочлена со степенями

Zp=ak-1pk-1 + ak-2 pk-2 + …+ a1p1 + a0p0

Из aj строится сокращенная запись числа Zp=(ak-1ak-2a1a0).

Минимальное значение p равно 2 (двоичная система счисления, которая имеет цифры 0 и 1, а форма записи каждого числа строится по степеням двойки).

1.2 Перевод целых чисел Zp→Zq

Прямой переход из системы с основанием p в систему с основанием q затруднен тем, что придется выполнять операции по правилам арифметики недесятичных систем счисления.

Поэтому при переводе используется промежуточная десятичная система счисления, то есть Zp→Z10Zq.

1.2.1 Перевод целых чисел из 10-й системы в систему с основанием q

Метод деления

В общем случае, чтобы перевести целое число из десятичной системы в систему с основанием p, необходимо разделить его на p. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на p – остаток даст следующий разряд числа и т.д. То есть для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления и продолжать делить полученные частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое число в системе счисления p.

Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную (25(10)à?(2) ).

25/2=12 (остаток 1),

12/2=6 (остаток 0),

6/2=3 (остаток 0),

3/2=1 (остаток 1),

1/2=0 (остаток 1).

Таким образом, 25(10)=11001(2).

Пример 2. Перевести число 89 из десятичной системы в троичную (89(10)à?(3) ).

89/3=29 (остаток 2),

29/3=9 (остаток 2),

9/3=3 (остаток 0),

3/3=1 (остаток 0),

1/3=0 (остаток 1).

Таким образом, 89(10)=10022(3).

Пример 3. Перевести число 576 из десятичной системы в шестнадцатеричную (572(10)à?(16) ).

572/16=35 (остаток 12, которому соответствует в шестнадцатеричной системе цифра С),

35/16=2 (остаток 3),

2/3=0 (остаток 2),

Таким образом, 89(10)=23С(16).

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления:

1) 37(10)à?(2) 7) 123(10)à?(5)

2) 612(10)à?(8) 8) 75(10)à?(2)

3) 44(10)à?(2) 9) 105(10)à?(2)

4) 30(10)à?(3) 10) 87(10)à?(2)

5) 50(10)à?(2) 11) 38(10)à?(2)

6) 137(10)à?(4) 12) 54(10)à?(2)

Метод вычитания степеней

В случае использования метода вычитания степеней последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основания, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе.

Пример 4. Перевести число 114 из десятичной системы в двоичную (114(10)à?(2), (8) ) методом вычитания степеней.

Переведем сначала число в двоичную систему:

114 - 1∙82 = 114 – 64 = 50,

50 - 6∙81 = 50 – 48 = 2,

2 – 2∙80 = 2 – 2 = 0.

Т.е. a2 = 1, a1 =6, a0 = 2 (индексы равны степеням двойки, цифры - коэффициентам). Таким образом, 114(10)=162(8).

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления при помощи метода вычитания степеней:

1) 37(10)à?(2) 8) 123(10)à?(5)

2) 612(10)à?(8) 9) 75(10)à?(2)

3) 89(10)à?(3) 10) 105(10)à?(2)

4) 30(10)à?(3) 11) 87(10)à?(2)

5) 50(10)à?(2) 12) 38(10)à?(2)

6) 137(10)à?(4) 13) 54(10)à?(2)

7) 44(10)à?(2)

1.2.2 Перевод дробных чисел из 10-й системы в систему с основанием q

Обозначим правильную дробь в исходной системе счисления p за 0,Yp, дробь в системе q – за 0,Yq, а преобразование – в виде 0,Yp à 0,Yq. При переводе дробных чисел также используется промежуточная десятичная система счисления, то есть 0,Yp à 0,Y10à 0,Yq.

Алгоритм перевода 0,Y10à 0,Yq:

1. Умножить исходную дробь в десятичной системе счисления на q, выделить целую часть – она и будет первой цифрой новой дроби, отбросить целую часть.

2. Для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной частей повторять до тех пор, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута требуемая точность конечного числа. Появляющиеся при этом целые будут цифрами новой дроби.

3. Записать дробь в виде последовательности цифр после нуля с разделителем в порядке их появления в п. 1 и 2.

После перевода дроби, конечной в исходной системе счисления, она может стать бесконечной в новой системе.

Пример 5. Перевести число 0,875 из десятичной системы счисления в двоичную (0,875(10)à?(2))

0,875∙2=1,75 (целая часть 1),

0,75∙2=1,5 (целая часть 1),

0,5∙2=1,0 (целая часть 1),

Так как дробная часть равна 0, то мы останавливаемся. Выписываем полученные цифры, приписав перед ними 0 с разделителем (в данном случае, запятая).

Таким образом, 0,875(10)à0,111(2).

Пример 6. Перевести число 0,73 из десятичной системы счисления в двоичную (0,73(10)à?(2))

0,73∙2=1,46 (целая часть 1),

0,46∙2=0,92 (целая часть 0),

0,92∙2=1,84, (целая часть 1),

0,84∙2=1,68, (целая часть 1) и т.д.

Выписав полученные цифры, получим 0,73(10)à0,1011(2).

Задания.

Перевести следующие числа из десятичной системы в указанную систему счисления:

1) 0,375(10)à?(2)

2) 0,6752(10)à?(2) до 4-х знаков после запятой

3) 0,119(10)à?(2) до 6-и знаков после запятой

4) 0,2647(10)à?(2) до 5-и знаков после запятой

5) 0,4725(10)à?(2) до 5-и знаков после запятой

6) 0,842(10)à?(2) до 6-и знаков после запятой

7) 0,231(10)à?(2) до 5-х знаков после запятой

1.2.3 Перевод чисел системы с основанием q в десятичную систему счисления

Для перевода числа Ap=(ak-1ak-2a1a0,a-1a-2…) в десятичную систему можно использовать саму формулу представления числа

A10=ak-1pk-1 + ak-2 pk-2 + …+ a1 p1 + a0 p0+a-1p-1+a-2p-2+…

Пример 7. Перевести число 112 из троичной системы счисления в десятичную.

A10=1∙32+1∙31+2∙30=9+3+2=14.

Пример 8. Перевести число 0,1011 из двоичной системы счисления в десятичную.

A10=1∙2-1+0∙2-2+1∙2-3+1∙2-4=0,5+0,125+0,0625=0,6875

Пример 9. Перевести число 1101,011 из двоичной системы счисления в десятичную.

A10=1∙23+1∙22+0∙21+1∙20+0∙2-1+1∙2-2+1∙2-3=8+4+0+1+0+0,25+0,125=13,375




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.