Дискретне перетворення Лапласа. Спектри дискретизованих сигналів

В наслідок неможливості розкладання всіх функцій за допомогою перетворення Фур’є, виникли перетворення Лапласа.

Представимо спектр через інтеграл Фур’є:

Якщо інтеграл не збігався, було запропоновано ввести коеф. збіжності:

,де р=-(iw+s)t

Отже, маємо перетворення Лапласа аналогових функцій.

Як бачимо, перетворення Лапласа-це узагальнене перетворення Фурє.

Спираючись на аналогове перетворення, ми можемо записати дискретне перетворення Фурє, що дає можливість представлення функції через суму складових

Слід памятати,щояку б функцію ми не взяли б, Завжди в зображенні буде . ,k=0,1,2....(періодична функція з періодом 2p).

,де -частота дискретизації.

Подивимось поведінку зображення в площині р.

-ставиться для того, щоб була збережена періодичність.

Спектр сигналу в даному випадку буде там, де s=0, тобто спектр буде знаходитись на вісі wТ.

в даних межах знаходяться всі точки перетворення Лапласа. Розглянемо спектр дискретизованого сигналу:

1. маємо сигнал;

2. сигнал має обмежений спектр, оскільки описується двома перетвореннями Фур’є, що обмежують його спектр з обох боків:

,

3. дискретизуємо наш сигнал.Отримали послідовність імпульсів, довжиною t, з періодом Т.Для даних імпульсів можемо заисати інтеграл Н(t) наступним чином:

, проте для Н(W) вираз дуже складний, тому беремо наближенгня, що в нашому спектрі незкінченно вузькі імпульси, тоді отримаємо:

4.у відповідності до формули Н(W), отримали спектр.

(незкінченно вузький імпульс-> незкінченно ширший спектр).У випадку незкінченно вузьких імпульсів, у нас основні викиди будуть звужуватись, а маленькі- зовсім пропадуть, будемо мати спектр з надзвичайно вузьких паличок, тобто:

5. - вигляд дискретизованого сигналу.

6. Запишимо спектр дискретизованого сигналуY(W):

Отже, ми отримали, що в результаті дискретизації наш спектр розмножився:

Проаналізуємо отримані результати(вигляд спектрів сигналу, у відповідності до різних Т):

,

1)T=Topt	2)T<Topt	3)T>Topt

Виділимо сигнал, якщо на фільтр подаємо 2Wm, й тоді виділимо спектр

Як бачимо у третьому випадку йде перекриття спектрів, внаслідок чого ми не зможемо виділити наш сигнал, тому не можна брати малий період дискретизації.

Поиск по сайту: