Найпростіші рухи твердого тіла

4.1.1. Поступальний рух твердого тіла. Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма або її частина, проведені в цьому тілі, залишається в процесі руху паралельною сама собі.

Поступальний рух здійснюють кузов автомобіля на горизонтальній ділянці дороги, спарники коліс локомотива, педалі велосипеда.

Кінематика поступального руху твердого тіла визначається такою теоремою: всі точки твердого тіла при поступальному русі мають однакові кінематичні характеристики (швидкості, прискорення і траєкторії).

.

Це означає, що чотирикутник паралелограм, тому .

Рис. 7.1. Поступальний рух твердого тіла

Поділивши останю векторну рівність на і перейшовши до границі при , маємо

.

На підставі означення вектора швидкості матеріальної точки одержимо

Диференціюючи (4.2) по часу , знаходимо з врахуванням (3.10)

На підставі (4.1) можна записати

.

Остання рівність показує, що траєкторію точки можна сумістити з траєкторією точки паралельним перенесенням на вектор .

Оскільки точки вибиралися довільно, то з одержаних результатів випливає, що у всіх точках тіла однакові швидкості, прискорення і траєкторії. Теорема доведена.

На підставі доведеної теореми поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом довільної його точки. Це означає, що задача кінематики поступального руху твердого тіла зводиться до задачі кінематики матеріальної точки (розділ 3).

При поступальному русі спільну для всіх точок тіла швидкість називають швидкістю поступального руху тіла, а прискорення – прискоренням поступального руху. Вектори і можуть бути прикладені до довільної точки тіла.

4.1.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Розглянемо тверде тіло і деяку нерухому вісь , яка незмінно з ним зв’язана. Вважаємо, що вісь закріплена за допомогою підшипника і підп’ятника (рис. 4.2).

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, при якому кожна його точка рухається по колу, центр якого належить осі обертання , радіус цього кола дорівнює відстані від точки до осі обертання, а площина кола проходить через розглядувану точку перпендикулярно до осі обертання.

З означення випливає, що довільна пряма, яка належить тілу і паралельна осі обертання описує в процесі руху кругову циліндричну поверхню. При цьому всі точки цієї прямої мають однакові швидкості, прискорення і траєкторії. Точки осі обертання залишаються нерухомими.

Для визначення положення тіла, що здійснює обертальний рух, проведемо через вісь обертання дві півплощини: одну нерухому, а іншу рухому, яка проходить через точки тіла і обертається разом з ним.

Тоді положення тіла в довільний момент часу буде визначатися положенням рухомої півплощини, або кутом між рухомою і нерухомою півплощинами (рис. 4.2). Кут будемо називати кутом повороту тіла і вважати додатнім якщо він відкладений від нерухомої півплощини в напрямку протилежному ходу годинникової стрілки. Кут повороту вимірюється в радіанах .

Оскільки положення твердого тіла в просторі однозначно визначається положенням трьох неколінеарних його точок, то в розглядуваному русі достатньо визначити положення довільної точки , яка не належить осі обертання.

Розглянемо переріз тіла площиною, яка проходить через точку перпендикулярно до осі обертання (рис. 4.3).

Нехай положення точки в момент часу . Положення точки буде визначено, якщо буде відома функція , яка визначає закон обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Зауважимо, що кут буде однаковим для всіх точок розглядуваного кола (рис. 4.3), отже і для всіх точок тіла. Це випливає із означення абсолютно твердого тіла, для якого

.

Тому

і .

Останні співвідношення показують, що

.

.

Розглянемо два моменти часу та , яким відповідає два положення точки , що визначаються кутами та . Приріст кута повороту точки за час визначається співвідношенням (рис. 4.4).

Середньою кутовою швидкістю точки за час будемо називати відношення

.

Границя цього відношення при називається кутовою швидкістю точки в момент часу

Одиниця виміру кутової швидкості рад/с.

Кутова швидкість є функція часу . Похідна від неї по часу називається кутовим прискоренням точки :

Одиниця виміру кутового прискорення рад/с².

Оскільки кут повороту не залежить від вибору точки, то всі точки твердого тіла при його обертальному русі навколо нерухомої осі будуть мати однакові кутові швидкості і прискорення. Тому в подальшому величини та будемо називати відповідно кутовою швидкістю і кутовим прискоренням твердого тіла.

Зауважимо, що в залежності від напрямку обертання кутова швидкість може бути додатною або від’ємною. В ті моменти часу, коли тіло обертається в додатному напрямку.

Якщо , то обертальний рух твердого тіла називається прискореним, при – сповільненим.

Лінійні швидкості і прискорення точок при обертальному русі тіла. Нехай обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі задано рівнянням

.

Розглянемо в тілі довільну точку , яка віддалена від осі обертання на величину (рис. 4.5).

Рух точки по траєкторії задано натуральним способом

.

Тому на підставі (3.20) одержимо такі кінематичні формули для визначення швидкості і прискорення точки

Додатні напрямки швидкості і прискорення точки у випадку прискореного руху показано на
рис. 4.6.

Якщо рух сповільнений, то вектор змінює напрямок на протилежний. Повне прискорення точки визначається за формулою

На підставі (4.7) (4.8) можна зробити висновок, що лінійні швидкості і прискорення точок тіла при його обертальному русі змінюються вздовж радіуса за лінійним законом. За цими ж формулами можна знайти рух будь-якої іншої точки, знаючи рух однієї точки тіла, а також характеристики руху всього тіла в цілому.

4.1.3. Рівнозмінний обертальний рух твердого тіла. Рух твердого тіла навколо нерухомої осі називається рівнозмінним, якщо в кожен момент часу . За формулою (4.6) знаходимо

.

Інтегруючи останню рівність, будемо мати

,

Тут – початкова кутова швидкість тіла.

Підставляючи (4.9) в (4.6) після інтегрування, знаходимо

де – початковий кут повороту тіла.

; .

Ці формули мають таку структуру, як і формули (3.17), (3.18).

4.1.4. Векторні формули для швидкості і прискорення точки при обертальному русі тіла. Розглянемо тверде тіло, яке здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі за законом . Всі точки тіла в кожний момент часу мають однакові величини і . Вісь обертання в процесі руху залишається незмінною, тому її додатній напрямок можна визначити одиничним вектором за правилом гвинта (рис. 4.7).

Диференціюючи рівність по часу, знаходимо

,

або

Вектор називається вектором кутового прискорення обертального руху тіла. Якщо , то і такий обертальний рух називається прискореним. При , – обертальний рух називається сповільненим. Введення векторів та дозволяє записати формули (4.7) у векторній формі. Так як і , то за означенням векторного добутку двох векторів можна записати

Диференціюючи останню рівність по часу, знаходимо

,

або

Перший доданок у правій частині (4.14) визначає вектор тангенціального прискорення , а інший – нормального прискорення . При цьому

Поиск по сайту: