3.2.1. Швидкість точки. Нехай рух матеріальної точки відносно вибраної системи відліку задано векторним рівнянням . Розглянемо момент часу , якому відповідає вектор і точка на траєкторії. Надамо часу приросту . Часу відповідає вектор і точка на траєкторії. Точки і визначають вектор , який називається приростом вектора за час . Зауважимо, що вектор залежить від (рис. 3.4).
Величина називається вектором середньої швидкості матеріальної точки за час .
Границя цього вектора при називається вектором миттєвої швидкості точки в момент часу
(3.5)
В довільний момент часу формулу (3.5) можна записати у вигляді
(3.6)
На підставі (3.6) можна зробити такий висновок: вектор швидкості руху матеріальної точки в довільний момент часу, дорівнює похідній від радіус-вектора точки в цей же момент часу і характеризує зміну положення точки відносно вибраної системи відліку з часом.
Рис. 3.4. Переміщення
матеріальної точки
Вектор напрямлений вздовж січної . При зменшенні січна буде обертатися навколо точки і в граничному положенні стане дотичною до траєкторії в точці . Таким чином, вектор швидкості точки напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в напрямку руху.
Вектори і завжди прикладені до матеріальної точки.
Припустимо, що рух матеріальної точки задано координатним способом
; ;
Позначимо через проекції вектора її швидкості на координатні осі. Тоді на підставі (3.6) маємо
(3.7)
Прирівнявши відповідні координати в лівій і правій частинах, одержимо
; ;
Величину вектора швидкості і кути які він утворює з координатними осями відповідно визначаємо за формулами векторної алгебри
(3.8)
; ; ;
При натуральному способі задання руху точки рівняння руху має вигляд
На підставі формули (3.6) можна записати
.
Тут враховано, що . Таким чином,
(3.9)
Формули (3.6)-(3.9) дозволяють визначити вектор швидкості в будь-який момент часу при довільному способі задання руху точки.
3.2.2. Прискорення точки. Швидкість руху матеріальної точки в кожен момент часу характеризує зміну положення точки відносно вибраної системи відліку. Разом з тим швидкість руху точки є функцією часу. Тому для повного кінематичного аналізу руху точки необхідно ввести ще одну кінематичну характеристику яка називається прискоренням.
Нехай рух матеріальної точки задано векторним способом
; .
Рис. 4.5. До визначення прискорення матеріальної точки
Розглянемо момент часу , для якого визначимо вектор . Часу надамо приросту і визначимо вектор . Вектор називається приростом вектора за час (рис. 3.5).
Величину будемо називати вектором середнього прискорення за проміжок часу .
Границя при визначає миттєве прискорення матеріальної точки в момент часу
З врахуванням (3.6) цю формулу можна записати так
(3.10)
.
Вектор прискорення руху матеріальної точки дорівнює похідній по часу від вектора швидкості і характеризує зміну швидкості з часом. Він завжди прикладений до матеріальної точки.
Припустимо, що рух точки задано координатним способом
; ;
Позначивши через проекції на координатній осі прискорення , на підставі (3.10) одержимо
.
Порівняємо відповідні координати в лівій і правій частинах
(3.11)
; ;
Аналогічно до (3.8), величина і напрямок вектора визначаються за формулами:
(3.12)
; ; ; ,
де – кути, які утворює вектор з координатними осями відповідно.
Якщо рух матеріальної точки задано натуральним способом, то
; .
Позначимо через одиничний вектор дотичної до траєкторії в розглядуваній точці так, щоб виконувалася умова
.
Диференціюючи останню рівність по одержимо
(3.13)
Використаємо формулу Френе із курсу диференціальної геометрії
,
де – радіус кривини траєкторії в розглядуваній точці; – вектор головної нормалі траєкторії, який перпендикулярний до і напрямлений до центра кривини траєкторії (рис. 3.6). В результаті простих перетворень із (3.13) одержимо
(3.14)
.
Рис. 6.7. До визначення прискорення матеріальної точки
Остання формула показує, що вектор прискорення розкладається на дві складові, одна з яких напрямлена вздовж дотичної до траєкторії і називається дотичним (тангенціальним) прискоренням , а інша, яка напрямлена по головній нормалі, називається нормальним прискоренням (рис. 3.7)
; .
Величини цих складових і повного прискорення обчислюються за формулами