Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Напряжения и линии скольжёйий



Допустим, что массив сложен из однородной породы и находится под действием собственного веса -(. Положение откоса OA опреде­ляется углом й, составленным нормалью к OA с положительным направлением оси х (фиг. 35). Откос находится в равновесии. Рас­сматривая плоскую задачу, найдем распределение напряжений в массиве откоса.

Если откос отсутствует и массив представляет собою бесконечное полупространство, то нормальные напряжения в каждой его точке являются главными и выражаются так (§ 30):


 

 


(1,49)
'0.
= -\у>
ху

• vy = а-;у , х


 

 


Эти напряжения, очевидно, будут иметь место и при наличии откоса OA, если рассматривать точки, весьма удаленные от OA. Од-

Фиг. 35. Схема к расчету напряжений в откосе.

 

нако по мере приближения к откосу напряженное состояние массива будет изменяться вследствие наличия обнажения OA. Допустим, что изменения будут существенны, начиная с точек, расположенных на прямой ОВ, проведенной под углам 450 к оси х. Таким образом, в области (а) будут иметь место напряжения (1,49), а в области (б)—иные напряжения, которые следует найти. Заметим, что в свое время Буссинеском для грунтов направление линии ОВ было приня­

под углом, равным 45" И—, где р— угол внутреннего трения, в

рассматриваемых условиях (связное тело) равный нулю.

Распределение напряжений в области (б) должно отвечать урав­нениям равновесия и совместности:

то


 

 


до у

д*х _

дх ' ду

, 9 д*<р дх* дх*ду*

д»х + иу) = g

дх2 1 ду2

at
dz
ху
ху
-4-
^ дх д2 (я* + зу)

Как известно, в указанных условиях задача бигармонического уравнения:

ду<

: о,

= 0, (2,49)

(3,49)

сводится к решению

(4,49)


 

 


которое удовлетворяло бы условиям на 1раницах.



 

В уравнении (4,49) <f — функция напряжения, связанная с кочпо центами напряжения условиями:

ду! ' dx» И дх-ду

Условиями на границах являются-

1) при х = у (на линии ОВ)—о1 = — аау и

-ху = 0, а также °у = — ?у; (6,49)

2) при у — — xctgS (на линии OA) i0a— 0 или

хлу (cos25 — sin2 8) 4- (ау — <гх) sin а • cos а = 0. (7,49)

Функция напряжения <f може! быть найдена в виде полинома третьей С1енени:

ср = Ау* + Вхуг + Cx'iv + Dx>. (8,49)

Здесь величины А, В, С и D — некоторые постоянные коэфициен- ты, которые следует найти из условий (6,49) и (7,49)

После диференцирования (8,49) на основании (5,49) имеем:

ок — ЬАу + 2Вх,

av = 2Cy + 6Dx, (9,49)

a.—v-V. = и ^ = (5,49)

^ = -2 (By + Cx)~ix Внося в (9,49) условия (6,49), при х = у будем иметь: <зх = 6 Ах -}- 2 Вх — — аух, оу = 2 Сх -f 6 Dx = — -{X, 'яу = -2(Вх ЬСх) - -рс = 0. Откуда после простейших действий получим


 

 


(10,49)
а

С- 4-(а — 1)4-ЗЛ,

D = т


 

 


Подсивляя зттем (9,49) в (7,49) и внося значения В, С и D из (10,49), получим при у = — x-ctgS уравнение, содержащее одно неиз­вестное А, решая которое, найдем-

А — —оя-4-Ye. (п'49>

6 (1 + ctg 8) cos 28 б ' v

Внося затем (11,49) в (10,49) и подставляя в (9,49), получим:

(1 + с tg'S) cos 2Ь -1а){у-х)-щх,

_ 7 cos2 8 , .

— TfXctg"S) CCS 28 — —

______ у cos' 8 , _ .

~ку~ (1+ctg 8) со» 25 ~ x> >

или, обозначая для краткости,

cos^ 5

(] -f ctg а) cos2S '

- т—чъщфщчтп иягчш» ""f(JT»"<t «ЧЩ/ЩЩ ip^

будем иметь окончательно:

— e)tv — —а?*,

(12,49)

Нетрудно убедиться, что полученное решение тождественно удов­летворяет уравнениям равновесия и совместности (2,49) и (3,49).

С помощью формул (12,49) могут быть найдены компоненты на­пряжения в любой точке области (б) откоса.

Если а—угол, составляемый направлением алгебраически большего главного нормального напряжения с осью х, то на основании извест­ных из теории упругости формул имеем:

', = '-j-A-cos 2с, |

Gy = o — A-cos2a, (13,49)

T^ = £-cos2a, j

i де

--- gJC+'у _ »i 4- «2 „ и _ «1 — »а _ т

a------ pj---- 2 И /с =■ ^ — "max •

Для начала пластической деформации может быть принята гипоте­за главных касательных напряжений, согласно которой

2 й = о„ * (а)

где as — предел текучести при простом растяжении.

В формулы (13,49) удобно ввести угол [5, составляемый направле­нием первого главного касательного напряжения с осью х и равный

jJ = а -j- 45° .

Выполняя это, получим:

а -f- k • sin 2 р, = а — /г • Sin 2 [$, = — /г-cos 2 ^,

откуда

= (14,49)

lj.ii

Подставляя в (14,49) значения компонентов напряжения (12,49), получим:

(15'49)

Линии скольжения плоского напряженного состояния — кривые, касательные, к которым в каждой точке плоскости х, у совпадают с направлениями главных касательных напряжений в этих точках Семейства линий скольжения пересекают друг друга под углом 90°. Уравнение первого семейства линий скольжения имеет вид

U-teP, 06,49)

а второго семейства:

^- = tg(90° + f3)=:-ctgf3. (17,49)

Из (15,49) можно вычислить tg{3 в функции координат х и у и, подставив в (16,49) и (17,49), получить диференциальные уравнения се­мейств л,1ний скольжения, которые затем следует интегрировать. Однако эти операции сопровождаются крайне громоздкими выклад- камй. Поэтому удобнее их выполнять каждый раз применительно к заданным условиям. В частности интегрирование диференциальных уравнений следует вести приближенными способами, например по Мелентьеву и т. п.

Для точек нч линии ОВ(у = х) формула (15,49) дает

tg2p = -oo,

откудт

Р-+Х-

Аналогичное значение угла получим и для всех точек области (а). Таким образом, линии скольжения в этой области представляют­


 

ся двумя семействами прямых, наклоненных к оси х под углами ~Т и —Т (Фиг- 36). Эти прямые в области (б) становятся кривы­ми (16,49) и (17,49). Условие (а) отвечает для таких кривых началу пластической деформации, т. е. переходу откоса в неустойчивое состояние.

§ 50. Зависимость между геометрическими элементами откоса

Рассмотрим простейший случай [60], когда поверхность обруше­ния является плоскостью с углом наклона к горизонту 0 (фиг. 37). Предельный угол откоса, отвечающий углу 0, обозначим через а.

Для момента предельного равновесия тангенциальная составляющая веса призмы ABC— T—Q sin 0 равна силе сцепления по плоскос­ти АС плюс сила трения. Первая равна с-(АС), а вторая —

N tg » = Q ■ cos 0 • tg <р,

где — угол трения,

Таким образом, для момента предельного равновесия имеем:

Q • sin « = с (АС) + Q ■ cos ft • tg <р, 0-sin(e --f)

с-- ■

(/IQ-coscp

откуда
VP9IH0! . ^71 ' /

Подставляя сюда значение веса призмы АБС:

T7S Н

Q = sin (а-- 0) и АВ

Sill а

получим

_ v Н • sin (а — в) • Sin (в — ср)

(a)

' 2 COS !р • Sin а

ИЛИ

г __ Н ■ sin (а — 0) • sm (В — tf)

7 2 sin а • COS 'f

Обозначим через я1 = я —0} откуда в = я — я,. Внося это в (а),

получим:


_ Н-Sin 'Sin fa — «1 — tt)
2 sin a-cos ?
Ш.L.I_
и таким образом a — !
Фиг. 37. Схема к определению угла предельного лей- ь ствительного откоса .
где k—так называемый коэфициент сце­пления. По плоскости обруше­ния значение силы сцеп­ления является наиболь­шим. Отсюда условие максимума k=f(я,) дает
Н- sm2-
2 sin а-COS tp

 

 


откуда


 

 


Эта формула дает связь между вертикальной высотой откоса Я и пре­дельным значением угла его заложения я при известных значениях kmax и ср. Из формулы следует, что с увеличением угла а высота Н уменьшается, и наоборот.

При я=90°, г. е. при вертикальном откосе, получим:

26„ -COS а

"о------- ([2]>5°)

sin» —-2

—значение так называемой предельной высоты свободного стояния вертикального обнажения породы.

Допустим теперь, что массив сложен из двух горизонтальных сло­ев с разными значениями у и с. Обозначим мощность верхнего слоя
через hx и глубину выемки в нижнем слое через Л2 (фиг. 38). Теоре­тически каждый из этих слоев должен иметь свой предельный угол заложения — а. Для верхнего слоя значение этого угла' приближенно может быть установлено с помощью формулы (1,50). Что же касает­ся нижнего слоя, го он может быть рассматриваем как нагруженный весом верхнего слоя. Эгу нагрузку приближенно можно считать 1 авномернораспреде- f

ленной, т. е. считать __________________ О D_____ ___________

откос BD вертикаль- Г

е1 // --------- {------- ^ Iа
раза,

ным BD', а это рав­носильно увеличе­нию веса призмы об­рушения в нижнем слое в

Щ + h, И;

1де А0—приведенная высота на­грузки, рав-

Фиг. 38. Эскиз к определению углов предельного дейст­вительного откоса прн разнородных породах

Ti

вм

ь

ная Aj'

Вес призмы ABC будет:

Qi = b

Iде ВМ длина перпендикуляра, опущенного из вершины В треу­гольник! ABC на основание АС Но так как


h.
А. sin в.,
____ hj___ Sin (Ко — рз)
и ВМ=АВ-sin
•sin I
АС--
sin <ь.

 

 


Лп-sln I

2 Sin (a.j — ji2) • sin a.

Вес рассматриваемой призмы с учетом нагрузки сверху согласно указанному выше, будет:

, _ h + /«-япр.

2 Sin (а2 — P2)-Sin а2 ' ,

Г

Qi = b~

Рассматривая момент предельного равновесия призмы ABC с этим, увеличенным весом и поступая аналогично, как и в выше рассмотрен­ном случае дг>я массива гз однородной породы, получим: .

(3,50)

2Ыax)'Sln 92'COS <р2

2 ■hl

Н — Та

Tj [3]

Sin2

Сравнивая с (1,50), видим, что предельная вертикальная высота откоса в нижнем слое равна таковой же, как и в случае однородного массива, минус удвоенная приведенная высота верхнего слоя. Этот последний можно рассматривать состоящим из нескольких горизон­тальных слоев, и тогда <',срмула (3,50) распространяется и на случай массива из многих горизонтальных слоев.


Т'Т '

wr^*^ -гпгчщг-"- fp"^™»»V'111 "З*

Формулы (1,50) — (3,50) отвечают условиям предельного равнове­сия призмы обрушения. Для использования их в целях проверки устой­чивости откосов в соответствующих реальных условиях f надлежит ввести в расчеты коэфициент запаса устойчивости откоса т Для эюто вместо £тах и <р в э-ти формулы нужно подставлять значения:

т

k-.Js»^, «h=arctg4(/=tg«p).

mj

Коэфициент запаса устойчивости откоса принимается в претелах т = 1,5 — 3,0 и больше, в зависимости от условий.

Таблица 24

Породы Состояние >— и <и со «а Я я S !V СО fi ч о ! Угол внутренне­го трения f, гра­дусы Коэфициент тре­ния f Сила сцепления в кг/м- Коэфициент сцепления с
Чистый круп­ный песок Влажный .... Сухой 1 600 1 400 25 30 0,466 0,577 50 200 0,031 1,140
Растительная земля Влажная . . . Сухая. 1 700 1500 0 364 0,700 50 500 0,030 0,330
Чистая глина Мокрая . . . Влажная .... Сухая 1 775 1 700 1 650 15 28 40 0,268 0,532 0,839 30 300 900 0,017 0.180 0,550
Ломкие поро­ды 1 950 1,000 40 000 20,000
Крепкие поро­ды (скаль­ные)   2 400 1,000 80 000 33,000

 

 


В табл. 24, составленной по данным [60] и др., приведены средние значения физических характеристик для грунтов и связных горных пород. Однако при расчетах для реальных условий следует пользо­ваться результатами лабораторных испытаний данных пород. При этом рекомендуется учитывать увеличение среднего объемного веса породы за счет насыщения водою за время продолжительных дож­дей и т. п. Если пористость данной породы п, то объемный вес ее по насыщении водою будет:

7 = Го + лДо,

где Д„ — объемный вес воды и ^о — объемный вес высушенной породы

Числовой пример 1

Верхняя часть мощного крутопадающего (70°) пласта разрабатывается почво- уступно на глубину Н = 50 м (фиг. 39). Породы висячего бока имеют: = 2,0 т мч, с, = 8 т/м* н ^,8=45°, а породы лежачего бока: f3 = 2,5 т/м*, с2 = 60 т/л«* и у., =. = 45°. Коэфициент устойчивости т = 2.

Устанавливаем расчетные значения величин-и sp2, и k2. Они будут следую­щие

12,0.
k,=

tg45°

• = 27°

= if2 = arc tg Cl

= 2,0, k,=

mi i

Угол действительного откоса а, для пород висячего бока при Н*т50 м нахо­дим по формуле < 1 ,-60)

2-2-sin «j-cos 27°

50 = ■

aj - 27°

sin2

откуда at3s5b°

17,5 м.

Если отдельным уступам придать углы действительного откоса 80*, то верти­кальная высота каждого уст>па не должна превышать

2 2-sin 80°-cos 27°

80° — 27°

sin2

Отсюда число >ступов в висячем боку 50:17,5 ^ 3. Условия производства ра­бот должны внести сюда соответствующие коррективы.

Фиг. 39. Схема к расчету уступов (числовой пример).

 

Лежачему боку может быть придан откос под углом 70°, так как глубина раз­работки (Н =50 м) меньше, чем высота свободного стояния вертикального обнаже­ния данной породы. Действительно, по формуле (2,50) имеем-


 

 


2-12 cos 27°

Н „ —
; 79 м > 50 м

90°-27е sm-i „


 

 


Числовой пример J

Выемкой обнажаются четыре горизонтальных слоя пород с характеристиками, шачения которых приведены в табл. 25. Принимая т=2, требуется установить значения углов откоса для этих слоев.

Таблица 25
Стоп Вертикаль­ Объемный Угол тре­ Сила Коэфици­
ная МО ц- вес, яг/л3 ния сцеплеиия ент сцеп­
  ность, м   градусы от/л2 леиия
Верхний 1 .... 1,5 Ю 0 3 0,2
11................. 2,0 8,0 4,0
Ill .... 2,4 30,0 12,5
  2,2 18,0 8,2

Как и в примере 1, находим расчетные значения величин <р и k следующими:


 

 


слой I . . . . . . . . 9,-23° и kx = 0,1
слой II ... . . ... ¥2-27° и ^2 = 2,0
  . . . . ?;=27» и А3 = 6,2
слой IV ... . . . . . ?4-27° и ^4 = 4,1
- 32°.

 

будет■ 1,5 2,0

Но формуле (1,50) значение угла at] для слоя Для слоя И по формуле (3,50) имеем:

— 2-
•15

2-2-sin а,.cos 27'

10 =-

о,, - 27°

sin2

и a., ^ 64°.


 

 


Аналогично для слоя 111

2,0
-2

2-6,2-sin • cos 27'

20 =

«8 - 27°

sin-

и ats=s79J.

И, наконец, для слоя IV


 

 


1,5
2.0
2.4 „ N
15 =

2-4.1-sln сц-cos 27°

sin2


 

 


;"56 .


 

 


§ 51. Более точные формулы

Изложенный в § 50 способ определения геометрических элементов откоса явля­ется приближенным, основанным на допущении прямолинейности линий скольжения в плоской задаче. Исследования последнего времени, принадлежащие главным образом

В. В. Соколовскому [61], позволяют решить задачу более точно.

Фиг. 40. Равномерно распреде­ленная нагрузка откоса.

и условие пластичности (2,51)

da„

-ху

+ 7 = 0 и

дх (к

ду да.

ху

= 0 (1,51)

дх

ду

Исходными для реше­ния плоской задачи явля­ются два уравнения равно­весия:


 

 


основании гипотезы постоянства потенциальной энергии — k--

(1,51) и (2,51) описывают пластическое равновесие при плоском деформированном состоянии тела. Система этих уравнений относится к гиперболическому типу. Она имеет два семейства характеристик (линий скольжения), ортогональных в плоскости \у. Эти уравнения могут быть приведены к двум линейным уравнениям, называемым каноническими (для случая, когда оба семейства линий скольжеНия криволинейны или же, как показал С. А. Христанович [62], допускают интегралы, включающие произвольную функцию, если одно из семейств линий скольжения представляет пря­мые линии).

Уравнения

В В. Соколовский предложил общий метод решения основных задач о предель­ном равновесии сыпучих тел при различных краевых условиях и с использованием в качестве исходных уравнений (1,51) и (2,51). В частности, им получена для отко­са, подверженного действию равномерно распределенной нагрузки р (фиг. 40), сле-
к)щая формула для определения формы поверхности откоса, находящегося в пре­дельном равновесии и с юженного из грунта с идеальным сцеплением

2k cos {ik-^iy ,

•In ----- ---- —------ r----- . (3,51)

Ш-Ч

Здесь k — сила сцепления. Формула (3,51) позволгет получить ряд полезных с ледствий.

Рели откос вертикален (х = 0), то из (3,51) имеем ( Р 1 l 1 ^ f Р

cos + ;== cos

f

Отк\да

и

ik 2 р у = — • - (4.51)

I I

Эта формула по«оляет найти предельную высот\ вер>икальиого откоса, нагр\ лени )го равномериораснределенной нагружой.

Если последняя отсутс!вует (р = 0), то формула (4,51) принимает крайне пр >- стой вид

4k

У = — (« + 1) (5.51)

Вообще /ке форма откоса при отсутствии внешне"! нагрузки может быть оп­ределена при р — 0 по формуле (3,51)

2k cos v ~ ') 2k cos ("W-У -1) x =- ЕБП------ = ln 0^4 • 51>

Числовой пример

Пусть задано- у = 2 500 кг/м\ £ = 5000 кг/м2. Внешня! на! рузка отсутствует. По формуле (5,51) предельная высота вертикальнэго откоса получается равно»

v = 33,12 м.

Эта же высота, но вычисленная по формула (2,50), прн у = 45°, потучается равнон

«о= 19,4 м,

I е. меньше приблизительно в 1,75 paia.

Б. ПОДЗЕМНЫЕ ВЫРАБОТКИ § 52.. Вводные замечания

Вопросы устойчивости подземных выработок, несмотря на всю их важность, в теоретическом отношении освещены слабо. Основная задача о предельном устойчивом пролете горизонтальной выработки еще не решена. То же относится и к связанным с нею задачам по устойчивости стенок выработки, мощности потолочной предохрани­тельной толщи и др. Практика подземных разработок обычно удов­летворяется данными опыта, не прибегая к расчетам. Ниже приво­дятся теоретические решения некоторых задач по устойчивости под­земных выработок, не претендующие на исчерпывающую полноту, однако позволяющие при заданных реальных условиях избрать дос­таточно обоснованные результаты

Исходной является задача установления поля напряжений, которое появляется в результате проведения выработки. Эта задача пока ре­шена для горизонтальных выработок кругового, эллиптического и прямоугольного поперечного сечения, имеющих неограниченную длину

(плоская задала) и Проведенных 6 однородной и изотропной порода. Для ее решения использованы результаты исследований концентра­ции напряжений вокруг отверстий в растягиваемой пластинке. Для круглого отверстия в пластинке задача была решена еще в 1898 г. как плоская задача теории упругости. Несколько позднее были получены решения для эллиптического отверстия. Наконец, в послед­нее время (1938)> для прямоугольных отверстий задача была решена акад. А. Н. Динником, Г. Н. Савиными А. Б. Моргаевским [63]. На­ибольший практический интерес представляют решения, относящиеся к прямоугольному сечению. Эти решения полностью подтверждаются на опыте с помощью оптического метода исследования прозрачных моделей. Что же касается сечений горизонтальных выработок со сводчатым потолком и вертикальными стенками, а также выработок

ограниченной длины, то распределе­ние напряжений вокруг них остает­ся пока не изученным.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.