Результатом операции эквиваленции для высказывания А ~ В будет истинна тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.
Пример 14. Высказывания А = «2 + 2 = 7» и В = «1 – 8 = 5». Сложное высказывание А º В (А ~ В) истинно, так как оба высказывания ложны.
Импликация
Результатом операции импликации для высказывания А ® В будет ложь только тогда, когда первое высказывание (А) истинно, а второе (В) ложно. При этом А – предпосылка, а В – следствие.
Пример 15. Высказывания А = «2 + 2 = 4» и В = «1 – 8 = 5». Сложное высказывание А ® В (А Þ В) ложно, так как высказывание А истинно, а В – ложно.
Антиконъюнкция
Результатом операции антиконъюнкции для высказывания А ½ В будет ложь только тогда, когда оба высказывания истинны.
Пример 16. Высказывания А= «Москва – столица России» и В= «Рим – столица Италии». Сложное высказывание А ½ В ложно, так как истинны оба высказывания.
Антидизъюнкция
Результатом операции антидизъюнкции для высказывания А ¯ В будет истинна только тогда, когда оба высказывания ложны.
Пример 17. Высказывания А= «Рим – столица России» и В= «Москва – столица Италии». Сложное высказывание А ¯ В истинно, так как ложны оба высказывания.
Основными символами алгебры логики являются:
пропозициональные переменные;
унарная связка Ø и бинарные связки Ù, Ú, ®, ~;
скобки ( ).
Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозициональной переменной.
Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия «сложного» высказывания. К формуле алгебры логики относят:
выражение, состоящее только из пропозициональной переменной (А1, В, с);
Правила сокращения записей в пропозициональных формулах:
вместо Ø А пишут ;
вместо А1 Ù А2 пишут А1А2;
приоритет применения связок возрастает в следующем порядке
~ ® Ú Ù Ø
внешние скобки опускаются.
Пример 18.
;
.
Для преобразований формул в равные формулы важную роль в алгебре логики играют следующие равенства:
(закон коммутативности).
(закон ассоциативности).
(закон поглощения).
(закон дистрибутивности).
(закон противоречия).
(закон исключенного третьего);
(закон снятия двойного отрицания);
(закон склеивания);
(закон де Моргана);
(закон свертки).
Эти равенства позволяют существенно упростить запись формул освобождением от лишних скобок.
Нормальные формы
Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причём среди переменных могут быть одинаковые.
Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причём среди переменных могут быть одинаковые.