У СТАТИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ РАМАХ

Під дією зовнішнього навантаження, температурного поля і в результаті зсуву опор споруда деформується, а її точки переміщуються. У будівельній механіці прийнято переміщення будь-якого вигляду позначати символом з двома індексами, наприклад .

Перший індекс “і” вказує на номер переміщення. Це число можна використовувати і для позначень напрямку переміщення. Другий індекс “k” вказує на номер завантаження, яке викликає переміщення.

Розглянемо, як приклад, балку, на яку діє декілька зовнішніх впливів (рис. 4.1).

Рис.4.1

Припустимо, що нас цікавлять наступні переміщення точок балки:

- вертикальне переміщення в точці А;

- кут повороту осі в точці А;

- кут повороту осі в точці В;

- вертикальне переміщення в точці К.

Пронумеруємо вказані переміщення. Ці номери на рис.4.1 позначені в лапках.

Нехай на балку діють незалежно три групи навантажень 1, 2, 3. Тоді вертикальне переміщення точки А, викликане навантаженням та , буде позначено ; вертикальне переміщення точки К, викликане навантаженями та , буде позначено , кут повороту осі в точці В, викликане навантаженями та , буде позначено і т.д.

Для позначення вигляду і напрямку переміщінь, як правило, використовують допоміжні стани рами. У цих станах за напрямком визначення переміщення прикладається одинична сила. У цьому випадку величина означає переміщення за напрямком сил допоміжного одиничниго стану “і” від дії сил стану “к”, що вважається дійсним.

Отже, для визначення переміщення в рамі необхідно мати два її стани. Один стан “к”, який зумовлений дією зовнішніх навантажень (рис.4.2,а), і другий стан “і” , який називається допоміжним або одиничним і отримується якщо прикласти до рами одиничну узагальнену безрозмірну силу за напрямком шуканого переміщення (рис. 4.2,б-е). Ця сила може являти собою зосереджену силу, зосереджений момент або групу зосереджених сил або моментів .

Коли потрібно визначити взаємний кут по­вороту двох перерізів, то в цих перерізах потрібно прикласти два протилежні за знаком моменти М=1. На рис. 4.2 наведе­ні допоміжні стани при визначенні наступних переміщень для рами: вертикального для точки А (∆_1к) - (рис. 4.2.б); горизонталь­ного для точки В (∆_2к) - (рис. 4.2,в); взаємного зближення точок С і Д (∆_3к) - (рис. 4.2,г); кута повороту перерізу на опорі Е (∆_4к) – (рис. 4.2,д); взаємного кута повороту перерізів, розташованих зліва і справа шарніру А (∆_5к) – (рис. 4.2, е).

Рис. 4.2

Одиничні сили у допоміжному стані можна скерувати як завгодно (вверх чи вниз, вліво чи вправо, за чи проти годинникової стріл­ки). Коли підрахунки дадуть знак «плюс», то це буде означати, що переміщення збігається із вибраним попередньо напрямком одиничної сили; у разі від’ємного результату переміщення скероване у протилежнипй бік.

Величина переміщення, яке викликане дією зовнішніх сил визначається за формулою Максвелла-Мора, яка для балок та рам має спрощений вигляд:

.

(4.1.)

Тут та - згинаючі моменти у допоміжному стані від дії одиничної сили і у заданому стані від дії зовнішнього навантаження, - жорсткість стержня на згин; - довжина ділянки.

При обчисленні переміщень за (4.1) у стержневих системах, що складаються з прямих стержнів, поперечні перетини яких є сталі, характеристики перетинів можуть бути винесені за знак інтеграла, а під інтегралом залишається добуток двох функцій та :

(4.2.)

Для обчислення цього інтеграла використовують формулу Сімпсона або правило Верещагіна.

Якщо одна з епюр ( ) окреслюється квадратною параболою, а друга ( ) прямолінійна (рис.4.3) , то зручно користуватися формулою Сімпсона

	(4.3.)

При розрахунку інтеграла достатньо знати крайні і середні ординати добуткових епюр. Добуток ординат в (4.3) додатній, якщо ординати епюр та відкладені по одну сторону стержня.

Якщо епюри в межах довжини стержня мають стрибок або злам, то в межах цього стержня необхідно використовувати формулу Сімпсона для кожної ділянки окремо.

	Рис.4.3	Рис. 4.4

Визначення інтеграла за правилом Верещагіна може бути використано у тому випадку, коли одна із епюр лінійна, а інша може бути довільною (лінійною, криволінійною або ламаною). За правилом Верещагіна інтеграл (4.2) дорівнює добутку площі криволінійної епюри на ординату другої фігури, розташовану під центром ваги площі першої епюри (рис.4.4).

(4.4.)

При перемноженні за правилом Верещагіна, двох лінійних епюр у формулі (4.4) площу можна брати будь-якої епюри. Правило Верещагіна використовується у тих випадках, коли достатньо легко визначити площу та положення центру ваги епюри. Найбільш зручно використовувати правило Верещагіна при перемноженні трикутних і прямокутних епюр.

У формулі (4.4) добуток та додатній, якщо центр ваги епюри та ордината епюри розташовані по одну сторону від осі стержня (так як, наприклад, на рис.4.4).

У таблиці 4.1 подано площі та абсциси центрів ваги епюр, які найчастіше зустрічаються.

Таблиця 4.1.

Вигляд епюри	Площа	Координати центра ваги

Отже, дпя обчислення переміщення в заданій рамі, що знаходиться під дією навантаження необхідно:

- визначити згинаючі моменти в стержнях рами від зовнішнього навантаження;

- вибрати допоміжний стан “і”, завантаживши раму одиничною безрозмірною силою по напрямку шуканого переміщення;

- визначити опорні реакції і внутрішні зусилля та у допоміжному стані;

- обчислити переміщення від дії зовнішнього навантаження за формулою (4.1). Інтегрування виконати або за правилом Верещагіна (4.4) або за формулою Сімпсона (4.3). Додатній знак результату вкаже, що напрямок переміщень співпадає з напрямом одиничної сили допоміжного стану. Від`ємний результат буде доказом того, що насправді напрямок переміщення протилежний до напрямку сили допоміжного стану.

Порядок визначення переміщень рами від зовнішнього навантаження проілюструємо на окремих прикладах.

Приклад 8. Для рами на рисунку 4.5,а визначити кут повороту перетину, розташованого безпосередньо близько до опори В.

Рис. 4.5

Для шуканого переміщення вибираємо допоміжний стан (рис.4.5,б). На рис.4.5,в і 4.5,г зображені епюри згинальних моментів у заданому і допоміжному стані рами. Для визначення переміщення використовуємо формулу (4.1)

.

Інтеграли у межах стояка і ригеля обчислюємо за формулою Сімпсона (4.3) та за формулою Верещагіна (4.4)

Приклад 9. Визначити взаємне зміщення точок C і В (позначимо його Δ_1р ) для рами, наведеної на рис.4.6.

Рис. 4.6

Взаємне зміщення точок С і В є узагальненим переміщенням. У допоміжному стані прикладаємо узагальнену силу Р₁=1. У даному випадку узагальнена сила складається з двох сил, прикладених у точках С і В по напрямку СВ (рис.4.6,б). Епюри заданого і допоміжного стану показані на рис.4.6, в і 4.6, г.

Переміщення Δ_1р можна отримати використовуючи спосіб Верещагіна.

(м).

Поиск по сайту: