Основные свойства сжимающих отображений

Теорема 2. Любое сжимающее отображение f метрического пространства Х в себя – непрерывное на множестве Х.

3Возмьмём произвольно точку х_оÎХ и докажем, что f – непрерывное на Х, т.е.

Из неравенства (1) следует, что r_x( f(x_o),f(x))£ ar_x(x_o,x) < a×e/a = e.

Отображение f непрерывное на множестве Х, т.к. оно непрерывное в любй точке х_о этого множества. 4

Теорема 3.( принцип сжимающих отображений Баноха).Любое сжимающее отображение полного метрического пространства (Х, r) в себя (f: Х ® Х) имеет неподвижную точку и при том только одну. (Х ≠ )

31.Выбярэм любы точка х_о ÎХ и пабудуем последовательность (х_n) па правилу:

(2)

2. Докажем, что последовательность (x_n) фундаментальная, т.е.

"e>0 $N½"n,m > N Þ r(x_m,x_n)<e.

Обозначим

r(x₁,x_о)=d. (3)

По условию теоремы f – сжимающее отображение. Воспользуемся неравенством (1) и обозначением (3).Получим:

Используя метод математической индукции, можно доказать, что

(4)

Возьмём произвольно натуральные числа m и n (m>n)и оценим r(x_m, x_n), используя неравенство треугольника и неравенство (4).Получим:

Т.к. 0 < a < 1, то aⁿ + aⁿ⁺¹ +…+ a^m - сумма n-членов бесконечно ўбывающей геометрической прогрессии. Поэтому r(x_n, x_m) £ d (5)

Предел последовательности , а это значит, что последовательность – бесконечно малая, и (по определению БМП)

(6)

Из неравенств (5) и (6) следует r(x_n, x_m)<e. Т.обр. показали, что

"e>0$NÎN ½"n,m > N Þ r(x_m,x_n)<e.Þ последовательность (2) фундаментальная.

3.Покажем, что последовательность (2) стремится к точке ÎХ.

По условию теоремы (Х, r) - полное метрическое пространство, (х_n)– любая его фундаментальная последовательность и она должна сходиться к элементу пространства (Х, r), а значит. существует точка ÎХ такая, что

(7)

4.Докажем, что - неподвижная точка.

Из равенства (7) следует, что а согласно равенствам (2) f(x_n-1) = x_n. Значит (8)

В силу теоремы 2 любое сжимающее отображение – непрерывное. Поэтому

С учётом (8), доказана неподвижность точки .

5.Докажем единственность неподвижной точки.

Пусть есть ещё одна неподвижная точка х*. Таким образом существуют две точки , х*ÎX такие, что f( )= и f(x*) = x*. Тогда

Но это произведение может быть тольки неотрицательным (т.к. r( , x*) ³ 0 и 0 < a < 1). Значит = x*. 4

Замечание. Метод нахождения неподвижных точек называется методом итерации, или методом последовательных приближений.

Пример 1.Пусть f – фукция - отображение отрезка [a,b] в отрезок [a,b], задана формулой f(x) = y (9)

Эта фукция дифференцируемая, и её производная удовлетворяет неравенству: ½f’(x)½£ a (0 < a < 1) "x Î[a,b].

Докажем, что уравнение f(x) = x (9). имеет единственное решение.

3[a,b]– замкнутое множество полным метрическим пространством Rи поэтому подпространство Х = ([a,b] , r(x,y) = ½х-у½) - полное метрическое пространство. Фукция f удовлетворяет условиям теоремы Логранжа на [a,b] :

По определению 3 f – сжимающее отображение полного метрического пространства в себя. По теореме Баноха существует единственная точка Î[a,b], для которой f( ) = . Эта точка находится с помощью последовательности (2). 4

Поиск по сайту: