Под отображением метрических пространств будем понимать отображение множества элементов некоторого метрического пространства в множество элементов другого (или того же) метрического пространства. Далее метрическое пространство и его множества будем обозначать одной буквой X или Y, а метрику соответственно rXи rY.
Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y, т.е. f: Х Y, точка аÎY, x0 – предельная точка D( f ) (D( f ) – область определения отображения f из пространства X в пространство Y).
Определение 1. (на языке последовательностей). Точка а называется пределом отображенияf в точке х0, если для любой последовательности (xn), сходящейся к хo по метрике rх, с членами из D( f ) неравными хо, соответствующая последовательность (f(xn))сходится к а по метрике ry.
Определение 2.(на языке “e-d”). Точка а называется пределом отображения f в точке хо, если для любого положительного числа e существует положительное число d(e) такое, что для всех точек х, принадлежащих D( f ) и удовлетворяющих условию 0<rx(x,xo)< d, выполняется неравенство rY(f(x),а)<e.
Если точка а является пределом отображения f в точке хо, то пишут
Сформулированные выше определения символично можно записать так:
Опр.1:
Опр.2:
Сформулируем определение 2 в разных метрических пространствах.
Пример 1. Пространство R1: X = R, Y = R; f: R R.
Пример 2. Пространство R2: X = R2, Y = R, f: R2 R, x=(x1,x2), xo=(x1o,x2o),x®xoв R2тогда и только тогда, когда x1®x1oи x2 ®x2o.
Теорема 1.Определении 1 и 2 равносильные.
Доказатьельство самостоятельно(см. 1 курс).
Определение 3. Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y (f: Х Y), точка хоÎD( f ). Отображение f называется непрерывным в точке хо, если
Замечание 1.В этом определении не требуется, чтобы точка хо была предельной точкой D( f ). Она может быть и изолиированной точкой D( f ).
Геометрический смысл Определения 3: отображение f: Х Y –непрерывно в точке хо тогда и только тогда, когда для любой e–окрестности точки f(xo) (U( f(xo),e) ÌY), существует d–окрестность точки xo (U(xo, d) ÌХ), образ которого при отображении f полностью принадлежит U( f(xo),e).
Определение 3'. Если точка хо – предельная точка D( f ), то отображение f непрерывнае в точке хо тогда и только тогда, когда
Если точка хо – изолированная точка D( f ), то отображение f считаем непрерывным в точке хо.
Определение 4. Отображение f: Х ® Y называется непрерывным на множествеМÌХ, если яно непрерывное каждой точке множества М. Если М =Х, то отображение f: Х ® Y называется непрерывным.
Теорема 2. (Критерий непрерывности отображения) Отображение f: Х®Y является непрерывным тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз любого открытого (замкнутого) в Y множества есть множество открытое (замкнутое) в Х. Т.е., если множества GÌY – открытое (замкнутое) множество, то множество f -1(G) – открытое (замкнутое) в Х.
Докажем для случая открытого множества.
Дано
Доказать: f — непрерывное отображение.
◄
►
Дано непрерывное отображение f: Х Y, и Е — произвольное открытое множество в Y.
Доказать: —открытое множество.
◄
►
Для случая замкнутого множества Е нужно рассмотреть его дополнение СЕ – открытое множество и воспользоваться уже доказанной частью.
Определение 5. Отображение f: Х Y называется равномерно непрерывнымна множестве ЕÌХ, если
Замечание 2.Если отображение f: Х Y равномерно непрерывноена множестве ЕÌХ, то оно и непрерывное на Е.
Определение 6. Метрическое пространство Х называется связанным, если его нельзя представить в виде двух непустых непересекающихся между собой открытых (в виде двух непустых непересекающихся между собой замкнутых) множеств.
Определение 7. Множество ЕÌХ называется связаннымв м.пр. Х, если связанным является подпространство Е метрического пространства Х.
Пример 3. В пространстве R связанными являются интервал, отрезок, луч, множество {3};
Пример 4. В пространстве R2связанным является любое множествоЕÌ R2 , удовлетворяющее условию: любые две точки из Е можно соединить ломанной, которая полностью лежит в Е. Например, кальцо;
Пример 5. Множество Е = (0,1)È[3,4]Ì Rне является связанным множеством.
Теорема 3.Если отображение f связанного метрического пространства Х в метрическое пространство Y – непрерывное, то множество f(X)связанное в Y.
3Методом от противного. Пусть множества f(X) не является связанным в м.пр. Y. Это означает, что существуют два непустых, непересекающихся между собой открытых множества М и N таких, что f(X) = MÈN.
Па теореме 2 в силу непрерывности отображения f прообразы множеств М и N будут открытыми (f –1(M) , f –1(N)). Очевидно, что они будут также непустыми, непересекающихся между собой множествами, а их объединение есть Х. Но это значит, что пространство Х не является связанным, что противоречит условию теоремы о связанности метрического пространства Х.►