Определение и примеры метрических пространств

ГЛАВА

ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Определение и примеры метрических пространств

Будем обозначать расстояние между двумя точками М₁ и М₂ символом . Напомним, что расстояние между двумя точками М₁(х₁,y₁) и М₂(х₂,y₂) плоскости вычисляется по формуле формуле

и обладает свойствами:

1) r(M₁,M₂)³ 0; причём r(M₁,M₂) = 0 Û M₁ = M₂;

2) r(M₁,M₂) = r(M₂,M₁);

3)r(M₁,M₂) £ r(M₁,M₃) + r(M₂,M₃) (неравенство треугольника).

Обобщим понятие расстояния на любое множество с помощью понятия метрики. Для этого нам понадобится понятие декартового произведения двух множеств: . В частности

X ´ Х = = X².

Пусть Х – некоторое непустое множество любой природы. Рассмотрим декартовое произведение .

Определение 1. Метрикойна множестве Х называется действительная функтия двух переменных r, заданная на Х ´ Х и "x, y, zÎX,довлетворяющаяследующим условиям (аксиомам метрики):

1) r(x,y)³0; r(x,y)=0 Û x = y;

2) r(x,y) = r(y,x);

3) r(x,y) £ r(x,z) + r(y,z) (неравенство треугольника).

Значение функтии r в точке (x,y), т.е. число r(x,y) называется расстояниеммежду точками x и y.

Определение 2. Множество Х с заданной на нём метрикой r, т.е. пара(Х, r), называется метрическим пространством(м.пр.).

Элементы множества Х называются элементами или точками м.пр. (Х, r).

Пусть дано м.пр. (Х, r), и множество МÌХ, рассмотрим функтию r_м(x,y)такую, что "x, y Î М значение r_м(x,y) = r(x,y). Очевидно, что пара (М, r_м )также является метрическим пространством.Пространство (М, r_м) называется подпространством метрического пространства ( Х, r ).

Замечание.Введенное понятие расстояния между точками метрического пространства позволяет рассмотреть важные вопросы о предельном переходе, непрерывности и диффернитируемости отображений и др.

Примеры метрических пространств

Пример 1. Пусть R – множество действительных чисел. Для любых чисел x,yÎR определим функтию

r(x,y) = ½х- у½. (1)

Очевидно, что (1) удовлетворяет аксиомам 1 и 2 метрики. Покажем, что функтия r удовлетворяет аксиоме 3 "x,y,zÎR :

r(x,y) = ½х - у½= ½х- z + z- у½£ ½х - z½+ ½z - у½= r(x,z) + r(z,y).

Пара (R, r), где r определяется равенством (1) – метрическое пространство, которое обозначают RилиR¹.

Пример 2. Множество М=[a,b] с метрикой r(x,y) = ½х- у½"x,yÎ[a,b]обозначают Х = ([a,b], r). Х – подпространство метрического пространстваR , т.к. [a,b]ÌR .

Пример 3. Множество ратиональных чисел Q с метрикой, задаваемой формулай (1) для всех x, y ÎQ, является метрическим пространством. Пространство Х = (Q,r) – подпространство метрического пространства R и обозначается Q.

Пример 4.Обозначим через R^m множество упорядоченных m –к действительных чисел .Элементы множестваR^m называются векторами (точками) и обозначаются одной буквой х = (х₁,х₂,…, х_m), y =(y₁,y₂ ,…, y_m).числа х₁, х₂ ,…, х_m – координаты вектора х. Элементы х и в равны между собой х = у, тогда и только тогда, когда х₁ = у₁, х₂ = у₂, …, х_m = у_m.

На множестве R^m введем функтию r (x,y)

"x,yÎR^m.(2)

Покажем, что пространство (R^m ,r) = R^m,где r определяется равенством (2), является метрическим пространством.

Легко убедится, что функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Для того, чтобы показать, что функтия удовлетворяет аксиоме 3, докажем 2 леммы.

Лемма 1. Для любых действительных чисел a_k , b_k, k=1,2,…,m, верно неравенство Коши-Буняковского:

(3)

3Рассмотрим функтию

Так как квадратный трехчлен относительно t — неотрицательный, то его дискрименант — неположительный, т.е.

4

Лемма 2. Для любых действительных чисел a_k ,b_k , где k = 1,2,…,m верно неравенство Миньковского:

. (4)

3

.4

Покажем, что для функтии (2) выполняется аксиома 3. Возьмем любые три точки х = (х₁, х₂, …, х_m), y = (y₁, y₂ , …, y_m), z = (z₁, z₂, …, z_m). Обозначим

, Þ .(5)

Подставив в неравенство (4) обозначения из (5), получим

Þ

Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4

Пример 5. Рассмотрим множество R^m ,но теперь r зададим с помощью формулы

, (6)

где х = (х₁,х₂,…, х_m), y = (y₁,y₂ ,…, y_m) – любые точки (векторы) пространства R^m.Докажем, что функтия (6) удовлетворяет аксиомам метрики.

Функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что функтия r удовлетворяет удовлетворяет аксиоме 3 для любых трех точек

х = (х₁,х₂,…, х_m), y = (y₁,y₂ ,…, y_m), z = (z₁,z₂,…, z_m)пространства R^m.

3 Þ

Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4

Замечание. На одном и том же множестве можно разными способами задавать метрики. В результате будем получать разные метрические пространства.

Пример 6. Рассмотрим множество С_[a,b] всех действительных функций непрерывных на [a,b]. Для любых двух функций x(t) и y(t) из этого множества будем считать

(7)

Равенство (7) – чебышёвское расстояние между функтиями x(t) и у(t). Покажем, что функтия r(x,y)– метрика на множестве С_[a,b].

Функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что r удовлетворяет аксиоме 3.

3Пусть x, y, z Î С[a,b], где t Î[a,b]. Оценим модуль разности

½x(t) - y(t)½= ½x(t) - z(t) + z (t) - y(t)½£ ½x(t) - z(t)½+½z(t) - y(t)½£

Þr(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4

Пример 7. Рассмотрим l₂ – множество последовательностей действительных чисел (хÎ l₂ , где х: х₁, х₂, ..., х_n…), для которых сходится ряд . Для любых двух последовательностей х = х₁, х₂, ... и в = у₁, у₂ ... из множества l₂ обозначим

. (9)

Так как ряд сходится, то формула (9) задает функтию для любых х, уÎl₂. Сходимость ряда легко доказатьь с помощью признака сравнения, если учесть, что ряды и сходятся, и верно неравенство .

Функтия r, заданная формулой (9), удовлетворяет аксиомам 1 и 2 (очевидно). Докажем, что она удовлетворяет и аксиоме 3.

3Для любых трёх последовательностей x, y, z множества l₂ верно неравенство

Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4

Пример 8. Рассмотрим множество Х произвольной природы. Зададим на нем метрику Пара (Х;ρ) – метрическое пространство.

Вывод: любое множество можно метризовать, т.е. определить расстояние между его элементами.

Линейные пространства

Понятие линейного пространства играет важную роль в современной математике. Оно является естетсвенным обобщением трехмерного евклидового пространства. В линейном пространстве определены две алгебраические оператии: сложение элементов пространства и умножение их на сколяр (число), удовлетворяющие определённым условиям.

Определение 1.Пусть К – поле действительных или комплексных чесел. Непустое множество А называется линейным (векторным) пространством над полем К,если для любых двух его элементов х и в определена их сума х+уÎА и для любого числа lÎK определено произведение l×х ÎА так, что эти оператии удовлетворяют следующим аксиомам:

1) x + y = y + x, " x,yÎ А;

2) (x + y) + z = x + (y + z), "x,y,z Î А;

3) $ qÎ А такой, что x + q= x, "xÎ А;

4) " xÎ А $ - xÎ А такой, что x + (- x) = q;

5) 1× x = x "xÎ А;

6) l(x + y) = lx + ly, "x,уÎ А, "lÎ К.