Непрерывные отображения компактных пространств

1^o. Понятия компактного пространства и компактного множества. Необходимое условие компактности множеств

Определение 1. Метрическое пространство X = (X, r) называется компактным (компактом), если из любой последовательности (x_n)точек этого пространства можно выделить подпоследовательность , сходящуюся по метрике r к элементу пространства Х.

Определение 2. Множество Е Ì Х называется компактнымв м.пр. Х, если из любой последовательности точек множества Е можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по метрике r к элементу множества Е или другими словами: если подпространство (Е, r) - метрической пространства (X, r)является компактом.

Пример 1.Пространство Rне является компактом, т.к. существует последовательность (n), nÎN,из которой нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся в R.

Пример 2. Любое конечное множество Е точек метрического пространства (X, r) – компактное множество в этом пространстве.

Пример 3.

Пусть подпоследовательность ( = (3, 3, …,3…)) (n = 2k)стремится к числу 3, при n®¥ . Точка 3 принадлежит множеству ЕÌ R . Множество Е компактное в R.

Теорема 1.Если множество Е замкнутое в компактном метрическом пространстве (X,r), то оно компактное в этом пространстве.

◄ Рассмотрим члены которой принадлежат ЕÌХ. Т.к. м.пр. (X,r) – компактноя, то для этой последовательности существует подпоследовательность , сходящаяся к элементу пространства Х, т.е.

.

Отсюда следует, что в любой ε–окрестности точки а есть члены подпоследовательности Þ а –предельная точка Е. По условию Е – замкнутое множество Þ аÎ Е Þ Е – компактное в м.пр. Х. ►

Теорема 2(I необходимое условие компактности). Если множество Е Ì Х компактное в м.пр. (X, r), то оно замкнутое в этом пространстве.

Пример 4. Интервал (a,b) не может быть компактным множеством в пространстве R, т.к. не является замкнутым множеством.

Теорема 3(II необходимое условие компактности). Если множество Е Ì Х компактное в м.пр. (X, r), то оно ограниченное в этом пространстве.

Таким образом построили последовательность (x_n), члены которой удовлетворяют неравенству (1). По условию Е компактное Þ существует подпоследовательность последовательности(x_n), сходящаяся к точке а^*ÎЕÞ"ε>0 (ε = n)$k_п(ε)ÎN такой, что " k_п > k_п (ε) выполняется неравенство

(2)

но для этих же номеров k_п (т.к. ) выполняется (1), т.е.

(3)

По аксиоме метрики

Получили противоречие. 4

Замечание 1.Теоремы обратные теоремам 2 и 3 вообще говоря не имеют места.

Теорема 4 (критерий компактности в R^m). Для того, чтобы множество

ЕÌ R^m было компактным в м.пр. R^m, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным в R^m.

Доказатьельство необходимости следует з теорем 2 и 3.

3Достаточность.

Рассмотрим произвольную последовательность (x_n)из Е. Т.к. множество Е ограниченное в м.пр. R^m (по условию теоремы), то и последовательность (x_n) – ограниченная. Поэтому по теореме Больцана-Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некаторой точке аÎ R^m . Эта точка является предельной точкой для последовательности Ì Е, а поэтому и для множества Е. В силу замкнутости множества ЕÌХ, точка аÎЕ, (по определению 2) подпоследовательность ® а при п®∞, значит множество Е – компактное множество. ►

Пример 5. Множества Е= ÌR – компактное множество.

Пример 6. в пространстве R^m–компактное множество.

Пример 7.Множество ÌR не будет компактным множеством, т.к. не является замкнутым.

2^o. Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства

Теорема 5.Пусть f – непрерывное отображение метрического пространства Х в метрыческое пространство Y (f: Х Y). Если множество ЕÌХ – компактное множество в м.пр. Х, то егo образ f(E) – компактное множество в м.пр. Y.

◄ Рассмотрим произвольную последовательность , члены которой принадлежат образу Е, множеству f(E) Ì U . Пусть какой-нибудь прообраз , т.е. и ÎЕ. По условию ЕÌХ и Е – компактное множество в м.пр. Х. Тогда последовательность ( ) содержит подпоследовательность , сходящуюся к некаторой точке . Эта точка является предельной точкой для последовательности Ì Е, а значит и для множества Е. В силу замкнутости множества ЕÌХ, точка ÎЕ, и (по определению 2) т.к. подпоследовательность сходится к точке ÎЕ, то из последовательности можно выделить соответствующую подпоследовательность , члены которой являются образами соответствующих членов последовательности множества Е ( ). По условию теоремы f – непрерывное отображение метрической пространства Х в метрическое пространство Y Þ (по определению непрерывного отображения) для последовательности $ сходящаяся подпоследовательность , причём Þ f(E) – компактное множество. ►

Пример 8. Пусть задано отображение f: R R; X = R, Y=R.

f(x) = x²; D( f ) =[1,2]ÌR – компактное множество в метрическом пространстве R; E( f ) = [1,4]Ì R – компактное множество в пространства R.

Теорема 6.Если отображение f: Х Y непрерывное на компактном множестве ЕÌХ, то оно равномерно непрерывное на компактном множестве Е.

Замечание 2. Теорема 6 – обобщение теоремы Кантора для действительной функции одной действительной переменной.

Определение 3.Пусть задано множество ЕÌХ.Отображение f: Х Y называется ограниченным, если образ множества Е: f(E)– множество ограниченнае в Y.

Теорема 7(I теорема Вейерштрасса). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство Y непрерывное, то оно ограниченное.

Вспомним свойства верхней (нижней) грани числового множества.

Верхняя (нижняя) грань a множества ЕÌR удовлетворяет следующим условиям:

1) "хÎЕ Þ х£a (х³a);

2) "e>0 $хÎ Е, что х >a-e (x<a+e).

Лемма. Замкнутое ограниченное сверху (снизу) числовое множество EÌR содержит свою верхнюю (нижнюю) грань.

Определение 5. Пусть f – отображение метрического пространства Х в метрическое пространство R. Говорят, что f принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке х_оÎХ , если для любога хÎХ выполняется неравенство

Теорема 8(II теорема Вейерштрасса для компактных множеств). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство R непрерывное, то оно принимает свои наибольшее и наименьшее значении.

Аналогично даказывается, что отображение f принимает наименьшее значение.

Определение 6. Отображение f метрического пространства Х в метрическое пространство Y называется взаимно однозначным, если:

1) любому элементу х ÎХ соответствует единственный элемнт уÎ Y и

2) любой элементу уÎ Y соответствует единственному элемнту х ÎХ.

Теорема9. Пусть f – взаимно однозначное отображение метрического пространства Х в метрическое пространство Y. Если f – непрерывное отображение, то и обратное ему отображение f ^-1 также непрерывное.

Доказательство сам-но [1 ,ст.33].

Поиск по сайту: