Стандартная ошибка среднего значения

Для характеристики возможных отклонений выборочных средних от генеральной средней используют стандартную ошибку среднего значения, обозначаемую буквой m. Она вычисляется по формуле

m = , (5)

где N обозначает число вариант в выборке.

При больших N выборочные средние распределены приближенно нормально, и стандартная ошибка среднего значения позволяет оценить, на какую величину и с какой вероятностью выборочная средняя может отклоняться от средней величины генеральной совокупности. Приближенно можно считать, что с вероятностью 0,683 средняя величина выборки отличается от средней генеральной совокупности не более чем на ±m. Иначе, можно сказать, что в анализируемой выборке на интервале ±m содержится 68,3% средних значений генеральной совокупности.

По этой причине интервал ±m называют доверительным интервалом для среднего значения. Указание доверительного интервала содержит в себе некоторое утверждение о среднем значении генеральной совокупности, из которой взята выборка.

Однако вероятность того, что интервал ±m содержит среднее значение генеральной совокупности, сравнительно невысока, и для большей надежности пользуются интервалом ±2m, который даёт вероятность в 95,5%. И, наконец, доверительный интервал ±3m свидетельствует о том, что вероятность того, что среднее значение генеральной совокупности содержится на этом интервале, равна 99,7%.

В практике статистической обработки результатов педагогических исследований и экспериментов принято использовать три доверительных уровня (табл. 10).

Таблица 10.

В педагогических исследованиях 95-ти процентный доверительный уровень считается достаточно надежным. Однако в тех случаях, когда на основании проведенных исследований делаются широкие обобщения, требуется применение более высоких доверительных уровней - Р=99% или даже Р=99,9%.

При проведении педагогических исследований, в основном, приходится решать вопрос о реальности различий между средними значениями двух или более выборок. Обычно это бывают экспериментальная и контрольные группы, экспериментальные группы с различными методиками проведения занятий и т.д. То есть ставится вопрос: достоверно ли различие по средним значениям, допустим, в двух выборками? К примеру, для юношей в беге на 100 м, в одном из 10-х классов, центральная тенденция (средняя арифметической результатов юношей всего класса) свелась к показателю: =14,2 сек. В другом же 10-м классе этой же школы средняя арифметическая рассматриваемого показателя была равна: =13,9 сек. Ставится вопрос: действительно ли юноши 10-го класса, в котором средний арифметический результат класса в беге на 100 м, равный 14,2 с превосходят в скорости своих сверстников из другого 10-го класса, где средняя арифметическая времени преодоления дистанции равна 13,9 с? По существу задача сводится к проверке гипотезы об отсутствии реального различия между двумя выборочными данными по средней арифметической.

Нулевая гипотеза

Для вышерассмотренного примера в математической статистике существует понятие «нулевая гипотеза»:

· нулевая гипотеза отвергается, если показано, что расхождение в значениях средних арифметических двух выборочных данных вызвано не случайными причинами, а каким-то постоянно действующим фактором.

· принятие нулевой гипотезы означает, что различий в двух выборочных данных по средней арифметической не наблюдается.

Предельно допустимое значение вероятности, при котором нулевая гипотеза отвергается (т.е. доказывется, что различие между двумя выборками существует), называется уровнем значимости. Уровень значимости связан с доверительным уровнем обратной зависимостью: чем больше доверительный уровень, тем меньше уровень значимости (табл. 11).

Таблица 11.

Во многих педагогических исследованиях для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу, считают вполне достаточным уровень значимости при р<0,05. Более строгие выводы о достоверности различия между двумя выборками делаются при доверительном уровне 99% и выше или при уровне значимости менее 1% (р<0,01).

Одним из простых, но достаточно точных способов определения достоверности различий средних двух эмпирических совокупностей является проверка при помощи сравнения доверительных интервалов выборочных средних. Так, например, если результаты двух групп в беге на 100 м составляют: =14,0 с при m=0,1 с и =14,3 с при m=0,2 с, то средние генеральных совокупностей при доверительном уровне 95% (Р=95%) могут находиться в интервале и , то есть от 13,8 с до 14,2 с для первой группы и от 13,9 с до 14,7 с для второй группы. Тогда, как мы видим, доверительные интервалы перекрываются и трудно утверждать о статистической достоверности полученных различий.

Критерий Стьюдента

Так как способ проверки различий двух выборок при помощи сравнения доверительных интервалов выборочных средних не является особенно точным, то в большинстве случаев для сравнения средних значений двух эмпирических совокупностей применяется критерий Стьюдента.

Критерий Стьюдента вычисляется по формуле

. (6)

Особенности критерия Стьюдента проявляются в том, что он:

· является величиной безразмерной;

· независимо от полученного знака разности средних величин, перед t никакого знака не ставится.

Для учета последней особенности критерия Стьюдента формулу (6) можно переписать в виде

, (7)

где является модульным значением разности двух средних величин, т.е. всегда принимается за абсолютную величину, что на практике означает положительное значение рассматриваемой разности.

В тех случаях, когда число наблюдений (N) более 30, уровень значимости определяется в соответствии с таблицей 12.

Таблица 12.

Если для принятого уровня значимости, вычисленное значение t критерия Стьюдента меньше табличного значения (табл. 12), то нулевая гипотеза не отвергается и высказывается предположение о том, что различия в сравниваемых выборках статистически незначимы. В приведенном примере с результатами в беге на 100 м

Величина t=1,36 подтверждает уже высказанное предположение о том, что различия статистически незначимы (доверительные интервалы перекрываются) и нулевая гипотеза не отвергается.

Если число наблюдений менее 30, то необходимая величина t для различных уровней значимости определяется по специальной таблице (табл.1 Приложений). Так, например, две опытные группы по 10 человек, в которых тренировки проводились с помощью различных методических приемов, показали следующие результаты в плавании на 50 м: =50,8 с; m₁=1,7 с и =46,2 с; m₂=1,1 с.

В этом случае критерий t будет равен

Если бы общее количество испытуемых было больше 30 человек, то на основании полученной величины t можно было утверждать, что с вероятностью более 95% различия между группами статистически значимы. Однако в нашем случае общее число испытуемых равно 20, поэтому уровень значимости для вычисленной величины t определяется по таблице 1 Приложений.

Поиск по сайту: