Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Выделение критического множителя

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Правило.Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

Преобразование иррациональных выражений

Правило.Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:

− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,

− либо сделать замену переменной.

Замечание.

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Примеры

Найти пределы функций:

;

Применение первого замечательного предела

Правило.Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:

или ,

где и .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

4. .

Применение эквивалентных бесконечно малых величин

Правило.Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Неопределенности вида и

Если и при , то их разность представляет собой неопределенность вида .

Если и при , то их произведение − это неопределенность вида .

Правило.Неопределенности вида и раскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям вида или .

Примеры

Найти пределы функций:

Неопределенности вида , ,

Пусть функция имеет вид:

Если при , , а , то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:

; ;

или

; .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Если при , , а , то имеем неопределенность вида .

Если и при , то имеет место неопределенность .

Для раскрытия неопределенностей вида и их преобразуют и сводят к неопределенности вида следующим образом:

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.

Упражнения

Односторонние пределы. Найти пределы:

1. ; Ответ: ;