Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Условие существования предела функции



ГЛАВА 2

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение предела функции

Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.

Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося
аргумента х. Пусть х стремится к некоторому числу ( ). Введем понятие окрестности точки .

 

Определение.

окрестностью точки называется интервал , где −некоторое положительное число.

 

Если , то выполняется неравенство , или, что то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в −окрестность точки (рис. 2.1).

0 δ δ

 
 


х

 

Рис. 2.1

 

Рассмотрим поведение функции вблизи точки . Считаем, что функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть при неограниченном приближении аргумента х к значения функции неограниченно приближаются к числу А. Это записывается так: при . Данный факт означает, что с приближением х к разность становится как угодно малой и, какое бы число не было выбрано заранее, наступит такой момент в изменении , когда будет выполняться неравенство

.

В данном случае рассматриваются значения функции при значениях аргумента х, близких к и не равных , т.е. для х, лежащих в интервале , что равносильно выполнению неравенства

.

Утверждение « , если » означает, что для любого заранее заданного положительного числа можно найти такой интервал около точки , что для всех из этого интервала, выполняется неравенство .

Очевидно, что величина δ зависит от выбора , поэтому пишут . Если функция изменяется именно так при , то
число А называется пределом функции при .

 

Определение.

Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа , найдется такое положительное число δ, зависящее от , что для всех и, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывают:

.

 

Иными словами, числовые значения функции будут заключены в произвольной −окрестности числа А при условии, что числовые значения аргумента х взяты в достаточно малой δ−окрестности числа (исключая само число ). Из определения следует, что закон, по которому , безразличен: х может стремиться к возрастая или убывая, или колеблясь около .

Точка называется предельной точкой.

Поясним понятие предела геометрически. Если , то для всех точек , отстоящих от точки не далее чем на δ, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми и (рис.2.2).

 
 

 

 


Рис. 2.2


Односторонние пределы

В определении предела функции аргумент х принимает значения из окрестности точки , как слева, так и справа от , кроме .

Однако, есть функции, поведение которых вблизи некоторой точки , существенно зависит от того, рассматриваются ли точки х, лежащие правее или левее точки . Поэтому вводят понятие односторонних пределов.

 

Определение.

Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа существует число такое, что при , выполняется неравенство .

Предел слева обозначают:

или (рис.2.3).

Определение.

Число называется пределом функции справа в точке , если для любого числа существует число такое, что при , выполняется неравенство .

 

Предел справа обозначают:

или (рис.2.3).

 
 

 


Рис. 2.3

 

Например, для функции

в точке имеем:


предел слева −

,

предел справа −

.

Числа и характеризуют поведение функции , соответственно в левой [ ] и правой [ ] полуокрестности точки , поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами.

Если , то предел слева функции обозначают

или ,

а предел справа −

или .

Если функция задана на отрезке или на интервале , то в точке функция может иметь только предел справа, а в точке − только предел слева.

 

Условие существования предела функции

Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке .

Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем

.

Верно и обратное: если существуют и и они равны, то существует предел .

Справедлива следующая теорема.

 

Теорема.

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства

.

 

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .

 

Предел функции

при бесконечно большом значении аргумента ( )

При решении ряда задач необходимо бывает исследовать характер изменения функции при бесконечно больших значениях аргумента, т.е. когда .

Может оказаться, что при этом значения функции стремятся к некоторой постоянной А. Эту постоянную называют пределом функции при .

Записывают:

.

В зависимости от характера изменения х ( или ), обозначают одним из символов:

или .

Однако, тогда и только тогда, когда одновременно и .

Например, функция определена на всей числовой оси. Предел функции равен нулю, т.е. . График четной функции приближается к прямой при .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.