Второй замечательный предел. Можно доказать, что функция

Можно доказать, что функция

при стремится к числу е:

.

Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 ( …). Число е служит основанием натуральных логарифмов ( ) и играет важную роль в математике.

Дадим другое выражение для числа е. Полагая ( , т.к. ), будем иметь

.

Оба равенства называют вторым замечательным пределом. С помощью числа е удобно выражать многие пределы.

Замечание.

Показательная функция вида

называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

.

Эквивалентные бесконечно малые

Пусть и − бесконечно малые функции при (или ), т.е. и .

Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ).

Обозначается: .

Например, при , т.к. .

Для эквивалентных бесконечно малых справедливы следующие свойства:

1. Если при , то .

2. Если и при , то при .

3. Если и при , то , т.е. предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых.

Последнее свойство означает, что при нахождении предела, можно бесконечно малые, стоящие в числителе или в знаменателе или в обоих, заменять эквивалентными им величинами, в частности, более простыми. Такой прием часто применяют при вычислении пределов функций.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которыми пользуются при вычислении пределов функций:

1.		при
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

Правило.Для вычисления предела функции в точке или при надо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

.

Примеры

Найти пределы функций:

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения часто приводит к неопределенным выражениям вида: , , , , , , .

Например, или .

Выражения вида , , , , , , называются неопределенностями.

Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.

Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.

Неопределенность вида

Если и при ( ), то говорят, что их частное представляет собой неопределенность вида .

Правило.Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х.

Например,

.

Рассмотрим дробно−рациональную функцию

( ),

представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции при .

При нахождении предела данной функции при могут иметь место три варианта ответа:

1.	, если ;
2.	, если ;
3.	, если .

Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при во всех случаях равен пределу отношения их старших членов.

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. .

Неопределенность вида

Если требуется найти , где и − бесконечно малые функции при ( ), т.е. , то в этом случае вычисление предела называют раскрытием неопределенности вида .

Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.

Поиск по сайту: