Пример 7. Вычислить указанные пределы

Решение примера 7.

.

Ввиду того, что пределы слева и справа в точке не совпадают, искомого предела не существует.

.

Здесь учтено, что .

0

.

В данном случае после освобождения от модуля для раскрытия неопределенности вида использовано правило Лопиталя. Затем, пренебрегая единицей по сравнению с бесконечно большой величиной и желая применить шкалу бесконечно больших функций, вводим новую переменную .

В соответствии со шкалой бесконечно больших функций, учитываем, что является бесконечно малой по сравнению с функцией.

о

После выяснения вида неопределенности мы не стали применять правило Лопиталя, так как оно привело бы к усложнению функции, стоящей по знаком предела.

Вместо этого, используя основное логарифмическое тождество, прологарифмировали первоначально заданную функцию. Затем, пренебрегая конечной величиной по сравнению с бесконечно большой величиной , получаем конечный результат.

Пример 8. Найти поведение функции при

Решение примера 8.

.

После освобождения от модуля использована формула для эквивалентных в нуле функций: .

Поведение заданной функции определяется найденными пределами. Добавки (-0) означают, что график функции располагается ниже соответствующих значений пределов (Рис 1), стрелки на графике означают исключение из области допустимых значений аргумента точки с абсциссой .

Рис. 1Рис. 2

.

.

Неопределенность вида раскрывается по правилу Лопиталя.

Поведение заданной функции определяется найденными значениями пределов. Схематично график функции в окрестности точки приведен на Рис. 2. Стрелка на графике означает, что точка с абсциссой исключена из области допустимых значений аргумента.

.

Для раскрытия неопределенности вида было использовано правило Лопиталя.

Предела слева в точке рассматривать нет необходимости, так как заданная функция определена только для положительных значений аргумента . Поведение функции справа от нуля изображена на Рис. 3.

Рис. 3 Рис. 4

.

Для раскрытия неопределенности вида использовали основное логарифмическое тождество. Были использованы также различные формы представления функций, эквивалентных в нуле. В частности, для логарифма использовали формулу , справедливую при . По шкале бесконечно больших функций определили, что логарифм является бесконечно малой величиной по сравнению со степенной функцией .

Поведение заданной функции при изображено на Рис. 4.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Пределы. Типовые задания

Задача 1. Вычислить предел функции целочисленного аргумента при

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5 .

1.6 .

1.7 .

1.8 .

1.9 .

1.10 .

Поиск по сайту: