Бесконечность и ноль. Правила обращения

Настоящее издание посвящено различным методам вычисления пределов функции, пределов числовой последовательности. Рассматриваются все виды неопределенности и основные методы их раскрытия. Для облегчения вычисления пределов дается понятие шкалы бесконечно больших на бесконечности функций и эквивалентных в нуле бесконечно малых функций. Графическое представление вычисленных пределов функции рассматривается как метод анализа поведения функции в точке и на бесконечности.

Пособие рассчитано на самостоятельное изучение теории пределов и поэтому снабжено типовыми заданиями для самостоятельной работы. Типовые задачи на вычисление пределов по своему содержанию соответствуют рассмотренным в теоретической части пособия примерам (Гл.I, II, III). Прежде чем приступать к выполнению типовых заданий, рекомендуется ознакомиться с решением этих примеров.

При работе с данным пособием предполагается наличие навыков дифференцирования.

В первой главе дается определения числовой последовательности, ее предела, предела функции в точке и на бесконечности. Рассматривается графическое представление предела функции. Определяется понятие бесконечности, ее свойства и алгебраические действия с бесконечностью и нулем.

Глава вторая посвящена основным теоремам о пределах. Дается понятие неопределенности разных видов и основных методов раскрытия неопределенности. Определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции. С помощью разложения функций в ряд Тейлора в окрестности нуля дается понятие эквивалентных в нуле функций. Для Бесконечно больших функций определяется понятие шкалы роста на бесконечности.

Примеры вычисления пределов числовых последовательностей, пределов функций в точке и на бесконечности рассмотрены в главе третьей. Для каждого вида неопределенности рассмотрены основные методы ее раскрытия.

Содержанием четвертой главы является подборка типовых заданий по вычислению пределов числовых последовательностей и функций. Предлагаемые задания имеют разный уровень сложности и в зависимости от требуемого уровня освоения темы «Пределы» могут быть использованы студентами с разным уровнем математической подготовки.

Необходимость издания учебного пособия по практическим методам вычисления пределов продиктовано неудовлетворительным, по нашему мнению, изложением указанных разделов математического анализа в учебной литературе. Как следствие, в силу формализованного подхода к вычислению пределов, у студентов часто складывается поверхностное представление об этом процессе, что приводит к тому, что вычисление предела нередко ими проводится даже без анализа вида имеющейся неопределенности.

Введение

Теоретические основы теории пределов вместе с методами раскрытия неопределенностей, вычисления пределов функций и пределов числовой последовательности составляют важную и необходимую часть математического анализа.

Помимо того, что важнейший математический аппарат анализа, связанный с процессами дифференцирования и интегрирования, играющими фундаментальную роль в математическом анализе, технических, экономических и даже многих гуманитарных наук, опирается на понятие предела функции и предела числовой последовательности, само понятие предела вместе с методами его вычисления имеет свое прикладное значение, о чем нередко забывают как сами обучающие основам высшей математики, так и, тем более, обучаемые.

Действительно, при анализе функциональных закономерностей в любой отрасли науки и техники практически всегда оказывается необходимым знать поведения той, или иной величины в конкретной точке, а часто и на бесконечности. Вычисление соответствующих пределов функций или последовательностей в этих случаях практически полностью отвечает на вопрос о поведении той или иной величины в характерных, имеющих существенное значение точках, включая и бесконечность.

Более того, эффективная и быстрая оценка поведения того или иного параметра с помощью вычисления соответствующих пределов на границах области определения функции и в точках разрыва функции, дает возможность, практически без использования признаков возрастания и убывания функции, т.е. без нахождения областей монотонного изменения функции, а значит даже без громоздкого дифференцирования аналитически заданных функций с последующим решением неравенств, предсказать глобальное поведение функциональной зависимости. А для дифференцируемых функций предсказать, необходимость существования локального максимума или минимума.

Такое практическое применение пределов может быть реализовано на практике в случае наличия эффективных навыков вычисления пределов функции и числовых последовательностей.

Данное учебное пособие обеспечивает возможность получения таких навыков. Так, в первых двух главах рассматриваются теоретические основы методов вычисления пределов функций и числовых последовательностей, для чего требуется наличие определенных навыков дифференцирования аналитически заданных функций, т.е. вычисления обыкновенных производных.

Методы иллюстрируются большим объемом примеров с графическими приложениями, представленными в третьей главе с использованием понятий левого и правого пределов функции, их геометрическим представлением, а также с обоснованием необходимости представлять значения вычисленного предела в формах с целью оценки поведения функции в точке и на бесконечности.

Для проверки полученных навыков вычисления пределов в заключительном четвертой главе предлагается список типовых заданий различного уровня сложности (уровень сложности соответствует номеру задачи) от самых простых до достаточно сложных.

Поскольку все типы заданий на примерах рассматривались в третьей главе с подробным описанием методов решения, мы надеемся, что при желании весь список приведенных заданий в одном из десяти вариантов может быть выполнен студентом самостоятельно.

ПЕРВАЯ ГЛАВА. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции

Бесконечность и ноль. Правила обращения

Для того, чтобы можно было с достаточной степенью определенности представлять все возможные крайние или предельные значения функций действительной переменной при стремлении аргумента функции к тем или иным значениям, включая сколь угодно большие значения, дополним множество всех действительных чисел двумя “несобственными числами”: и (плюс бесконечность и минус бесконечность, знак (+) можно не записывать), которые определим с помощью свойств:

1° , , ( действительное число).

2° , .

3° для > 0;

для < 0.

4° .

5° .

Здесь под величиной ( ) понимается сколь угодно малая положительная или отрицательная величина.

6° ( < ).

7° ( > ).

8° ( < ).

9° Графическое представление бесконечности на плоскости изображено на Рис.1:

Рис. 1

Приведенные свойства дают возможность трактовать бесконечность как сколь угодно большое положительное или отрицательное число, обратное положительному или отрицательному нулю. О бесконечности как предельном значении числовой последовательности см. п. 2.

Поиск по сайту: