Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Определение. Числовой последовательностью называем множество чисел: , каждое из которых имеет свой порядковый номер, по которому однозначно определяется по определенному правилу соответствующий элемент последовательности (член последовательности). Если задан ый член последовательности , то по нему можно восстановить и всю последовательность. Например, , тогда имеем числовую последовательность

В случае, если с возрастанием номера члены последовательности приближаются сколь угодно близко к некоторому числу , то это число будем называть пределом числовой последовательности, при этом числовая последовательность называется сходящейся к числу . Применяются обозначения:

, или .

Одно и то же число может быть пределом многих числовых последовательностей. Например,

.

Но, если последовательность имеет предел, то этот предел единственен и не зависит от способа его вычисления. Например, вычисляя предел числовой последовательности с четными , получаем значение предела, равное нулю, а с нечетными – значение предела либо +1, либо –1 в зависимости от выбранных значений нечетных чисел. Таким образом, предела данной числовой последовательности не существует. Отсутствие предела можно установить также, если восстановить все члены последовательности

.

Видно, что с ростом члены последовательности не приближаются сколь угодно близко ни к какому числу.

Теперь дадим строгое определение предела последовательности:

Определение.Число называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , что при всех члены последовательности удовлетворяют неравенству .

Будем называтьчисловую последовательность бесконечно большой, если с ростом члены последовательности по модулю могут превысить сколь угодно большое положительное число. В этом случае можно записать: (если, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны);или (если, начиная с некоторого номера, все члены последовательности отрицательны).

Приведем примеры бесконечно больших последовательностей:

, .

Среди бесконечно больших последовательностей, как видим, имеются последовательности, имеющие предел, равный бесконечности, предел, равный минус бесконечности, а также последовательности, не имеющие предела (в силу его неединственности, так как для четных и нечетных знак бесконечности разный).

Поиск по сайту: