Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Четность и нечетность функций

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Функция называется четной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство:

График четной функции симметричен относительно оси Оy.

Примеры четных функций:

Функция называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется:

График нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0;0).

Примеры нечетных функций

При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика для , а левую достроить симметрично оси ординат для четной функции или симметрично начала координат для нечетной.

Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Периодичность функций

Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого значения х из области определения выполняется равенство

число Т называется периодом функции.

Примеры периодических функций: , , , .

Заметим, что периодическую функцию достаточно исследовать в пределах одного периода, т.е. при .

Простейшие преобразования графиков

Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции

Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как

а также более общего вида

где - некоторые константы.

1) График функции получается растяжением или сжатием в m раз исходного графика вдоль оси Оy.

Если же , то, построив сначала график функции , затем строим симметричный с ним относительно оси Ох искомый график функции .

2) График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графика вдоль оси Оy вверх или вниз на n единиц.

3) График функции получается из графика сжатием или растяжением его в а раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).

4) График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.

Построение графиков подобного рода в общем случае

сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.

АЗ-1

1. . Вычислить: , , ,

2. . Вычислить: , , ,

3. Найти область определения функций:

а) ;	б) ;	в) ;	г) ;
д) ;	е) ;	ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

4. Исследовать функции на четность или нечетность

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) ;	е) .

5. Найти наименьший период функций:

а) ; б)

6. Построить графики функций:

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) ;	е)
ж) ;	з)	и)

ИДЗ-1

Задание 1. Найти области определения и значения функций

1)	11)	21)
2)	12)	22)
3)	13)	23)
4)	14)	24)
5)	15)	25)
6)	16)	26)
7)	17)	27)
8)	18)	28)
9)	19)	29)
10)	20)	30)

Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

№ зад. № вар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задание 3. Найти наименьший период функции

1)	16)
2)	17)
3)	18)
4)	19)
5)	20)
6)	21)
7)	22)
8)	23)
9)	24)
10)	25)
11)	26)
12)	27)
13)	28)
14)	29)
15)	30)

Задание 4. Методом деформации и сдвигов построить график функции

№ зад № вар

Решение типового варианта

Задание 1. Найти области определения и значений функции .

Решение. Логарифмическая функция определена, если , , что возможно при .

Область D определения функции

Так как в D , то интервал - область значений функции Е.

Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

а) .

Решение. Подставим в функцию вместо х значение –х:

Так как выполняется равенство , то данная функция является четной.

б) .

Решение.

Так как выполняется равенство , то данная функция является нечетной.

в) Исследовать функцию на четность и нечетность .

Решение. , т.е. данная функция ни четная, ни нечетная, это функция общего вида.

Задание 3. Найти наименьший период функции .

Решение. Период для функций и равен . Функция имеет период в 3 раза меньше, т.е. , . Наименьший период суммы должен быть таким, чтобы и помещались в нем целое число раз. В данном случае .