Понятие случайной величины.

При оценке последствий воздействия землетрясения на различные объекты неизбежно возникает задача определения вероятности поражения объекта, а также оценки ущерба и потерь. Случайной величиной является либо значение параметра воздействующего поражающего фактора при землетрясении, либо результат самого воздействия.

Отнесение значения параметра воздействующего фактора к категории случайных величин оправдано тем, что интенсивность землетрясения зависит от ряда непредсказуемых причин, например, энергии землетрясения, глубины очага, физико-механических свойств грунта, по которому распространяются сейсмические волны.

Столь же справедливым является предположение о случайном характере воздействия конкретного поражающего фактора на объект. Причинами, определяющими случайность воздействия, являются, например, неточности в оценке прочностных характеристик сооружения, погрешности в оценки эпицентрального расстояния до объекта.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть непрерывной или дискретной.

Основное представление о случайной величине дает закон ее распределения – соотношение между значениями случайной величины и вероятностями их реализации [8].

Функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая вероятность того, что случайная величина примет значение меньше, чем некоторое заданное значение .

, (2.1)

где – вероятность.

Значение находится по формуле

(2.2)

Функция есть неубывающая функция

Плотностью распределения случайной величины называется функция

(2.3)

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна . Основным свойством плотности распределения является равенство единице ее интеграла в пределах возможного интервала изменения значений случайной величины

(2.4)

График плотности называется кривой (законом) распределения.

Элементом вероятности для случайной величины называется величина , приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки в элементарный отрезок , примыкающий в этой точке. График плотности распределения демонстрирует изменение вероятности появления каждого конкретного значения случайной величины, рис. 15.

Рис. 15. Закон распределения случайной величины.

На этом рисунке заштрихованная область соответствует вероятности того, что случайная величина примет значение меньше заданного значения (определяется по формуле (2.2)); - математическое ожидание величины .

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по соотношениям

- для непрерывных случайных величин

(2.5)

- для дискретных случайных величин

Дисперсией непрерывной случайной величины называется величина, характеризующая разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

(2.6)

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины

(2.7)

В соотношениях (2.5),(2.7) значения - это вероятности величин .

Вероятность попадания случайной величины на участок, протяженностью от до , находится по соотношению

(2.8)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии

(2.9)

Поиск по сайту: