Свойства функций непрерывных на отрезке

Теорема 11. (Больцано - Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда , заключенного между и найдется хотя бы одна точка , такая, что

□ Пусть, например, и . Рассмотрим функцию , которая очевидно непрерывна на и . Для доказательства надо показать, что .

Обозначим где , т. е. . Это множество не пустое и ограничено сверху (например, числом b). Тогда оно имеет точную верхнюю грань . Обозначим , покажем, что . Действительно, т. к. , то по теореме 10 на некотором полуинтервале и следовательно, . Аналогично, можно установить, что Итак, . Покажем, что . От противного: пусть . Если , то по теореме 10 окрестность точки с, что . Но в этом случае с не может быть точной верхней гранью, т. к. полуинтервал должен содержать точки множества Х (в которых ). Противоречие. Аналогично можно доказать, что также невозможно. Следовательно, , а ■

Замечание. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что прямая пересекает график функции хотя бы в одной точке, а функция принимает все свои промежуточные значения.

Теорема 12. (1-я теорема Вейерштрасса)Функция непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке.

□ От противного. Пусть не ограничена на следовательно, . Выберем в качестве (натуральное число), построим последовательность , такую, что

(8)

Последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность Пусть . Поскольку , то по теореме сравнения . Но вследствие непрерывности что невозможно, т. к. из (8) следует и .Противоречие. ■

Теорема 13. (2-я теорема Вейерштрасса)Функция непрерывная надостигает на нем своих точных верхней и нижней граней. Т. е.

=

□ Можно доказать только для верхней грани, т. к. = .Поскольку определена на , следовательно существует . Пусть . Надо доказать, что

: = .

От противного, допустим такой точки нет. Тогда функция непрерывна на . Очевидно, что на . В силу теоремы 12 ограничена сверху: . Тогда , следовательно, что невозможно, т. к. М наименьшая из верхних граней. Противоречие.

Замечание.а) В условиях теоремы 12 и теоремы 13 важно, что непрерывна на отрезке, т.е. на ограниченном замкнутом множестве. Если нарушается одно из условий, то теоремы не верны. Например, функция на интервале ( незамкнутое множество) неограниченна, т. е. нет верхней грани.

Функция на ( замкнутое, но неограниченное множество) не достигает своих нижней и верхней граней, т. е. значений и .

Замечание.б) Множество значений У функции , непрерывной на представляет собой отрезок , где , . В самом деле в силу теоремы 13 множество значений , причем , а в силу теоремы11 принимает все промежуточные значения между m и М.

Если непрерывна на промежутке Р, то множество значений также есть промежуток.

Определение 10.Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х, если .

Чтобы понять различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью сформулируем определение непрерывности на множестве Х:

Таким образом, число зависит не только от , но и от х, т. е. от точки. При равномерной непрерывности может быть выбрано независимо от х. Заметим, что из равномерной непрерывности следует непрерывность, но не наоборот!

Пример 17. непрерывна на . Показать, что не является равномерно непрерывной.

например, и

(где достаточно большое натуральное число).

, но

Т. е. не выполняется определение 8 и функция не является равномерно непрерывной на

Определение 11. Колебанием ограниченной на множестве Х функции называется число .

Из определения равномерной непрерывности следует, что : колебания на пересечении любого отрезка с множеством Х будет меньше, либо равен 1, если

равномерно непрерывная на любом промежутке.

Теорема 14.(Кантора) Непрерывная на отрезке [a,b] функция равномерно непрерывная на нем.

□ От противного. Пусть не является равномерно непрерывной на [a,b]. Это означает, что

.

Выберем последовательность положительных чисел δ_n и построим две последовательности и , такие,что

, (9)

но

(10)

Из ограниченной последовательности в силу Теоремы Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть х₀. Ясно, что х₀ [a,b], т. к. [a,b].

Из (9): – < ^’ < + . Переходя в неравенствах к пределу при k , получим ^’ х₀. Т. о. последовательность и сходится к одному пределу В силу непрерывности последовательности и также должны сходится к одному и тому же пределу Однако это невозможно, т. к. по (10): . Противоречие. ■

Замечание. Теоремы остаются верными, если предполагать, что непрерывна на произвольном замкнутом ограниченном множестве.

Монотонные функции

Определение 12.Функция , определенная на промежутке Х называется неубывающей на промежутке Х, если

;

невозрастающей на этом промежутке, если

.

Если неравенства и , т. е. строгие, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Невозрастающие или неубывающие функции называются монотонными функциями. Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции называются строго монотонными.

Пусть строго монотонная функция на Х. Отображение f промежутка Х на множество значений является взаимооднозначным (из определения взаимооднозначного отображения). Тогда единственный . Т. о. построено взаимооднозначное отображение множества на промежутке Х, т.е. функция .Эта функция называется обратной функцией по отношению функции . Ясно, что

Теорема 15.Пусть функция монотонна на открытом промежутке Х. Тогда в каждой точке существуют односторонние пределы и причем

, (11)

если не убывает и

, (12)

если не возрастает.

□ Для определенности будем считать, что монотонна и не убывает на Х. Тогда множество значений при ограничено сверху, т. к. и поэтому имеет точную верхнюю грань М. Очевидно . Покажем, что . По определению точной верхней грани:

1) ;

2) ,

а это можно записать следующим образом

.

Поскольку не убывает, то при имеем

при . Следовательно, по теореме сравнения, .

Аналогично доказывается, что . ■

Следствие. Каждая точка является либо точкой непрерывности монотонной функции , либо точкой разрыва первого рода, т. е. монотонная функция не может иметь точек разрыва второго рода.

Действительно, если из (12): , то точка х₀ – точка непрерывности. Если , то разрыв первого рода.

Теорема 16. Множество точек разрыва монотонной на открытом промежутке Х функции не более, чем счетно.

□ Будем считать, что не убывает. Пусть точка разрыва функции , тогда в силу (12) < .

В силу теоремы 5 из главы 1 , существует рациональное число r, такое что .Т. о. каждой точке поставлено в соответствие рациональное число. Если х₁ и х₂ две точки разрыва и r₁ и r₂ –соответствующие им рациональные числа, то , т. е. . Следовательно, разным числам разрыва соответствуют разные рациональные числа. Итак, установлено взаимооднозначное соответствие между точками разрыва монотонной функции и некоторым подмножеством множества рациональных чисел. Но множество рациональных чисел счетное тогда и множество точек разрыва не более, чем счетное. ■

Если не монотонная на Х, то множество точек разрыва может быть несчетно. Так функция Дирихле имеет разрывы во всех точках прямой.

Ранее было замечено, что множество значений непрерывной на отрезке , представляет собой отрезок. Т.е. для того, чтобы была непрерывна на необходимо, чтобы ее множество значений было монотонно. Оказывается, что для монотонной функции это условие достаточное.

Теорема 17. Если монотонна на отрезке и множество ее значений есть отрезок, то она непрерывна на

□ От противного. Пусть разрывная на и точка разрыва . Пусть не убывает. Тогда либо , либо .

В первом случае при значение , а при значение , т. е. не принимает значений из интервала Аналогично показывается, что во втором случае функция не принимает значений из интервала . В обоих случаях множество значений функции не может быть отрезком. Противоречие. ■

Теорема 18. Пусть функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке тогда существует обратная функция , непрерывная и возрастающая (убывающая) на отрезке

□ Для определенности будем считать, что возрастает на отрезке Множество значений непрерывной функции представляет собой отрезок , поскольку и в силу теоремы15 любое значение из отрезка функция принимает хотя бы один раз.

Поскольку возрастает на существует обратная функция , определенная на отрезке , множеством значений которой будет отрезок

Функция возрастает. В самом деле, если допустить, что противное, то и , что Но тогда , т. е. . Противоречие. ■

Следствие. Если f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке Х, тогда обратная функция непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке .

Специальные пределы

1. .

Так как непрерывная функция в ограниченной точке , то при . Тогда выражение при есть неопределенность

Из геометрических соображений очевидно неравенство

;

, , .

Из неравенства следует: , т. к. х и имеют одинаковые знаки. В силу непрерывности в точке :

.

Переходя к пределу, в силу теоремы сравнения, имеем: .

Пример 19. 1)

2)

3)

2. .

По определению предела, надо доказать, что . Если х_n – натуральное число, то доказано ранее. Пусть теперь , причем х_n пробегает не обязательно целые значения. Обозначим – целая часть числа х_n. Тогда

Т. к. k_n пробегает целые значения, то

, при

Из , то .

Тогда по свойству перехода к пределу (теорема сравнения). Отсюда .

В случае положим .Тогда

3. .

Доказательство получается, если сделать замену , , то

.

4. .

Поскольку непрерывная функция при , то можно совершить предельный переход под знак функции.

.

5. ( )

Обозначим . В силу непрерывности показательной функции при , . Тогда

.

6. .

Поиск по сайту: